在给定它们的和与积的情况下找到几何序列的前三项[关闭]

Question

我想编写一个 C++ 程序来计算几何数列的前三项。给出了什么： 前三项之和， r 它们相乘的结果 老实说，我不知道如何开始，因此我们将不胜感激。 我所知道的就是如何在纸上求解这些方程，但编写解决方案比我想象的要困难。假设解必须是真实的。

我尝试在纸上解决并实施我的思维过程，但这似乎是一个坏主意。我得到了关于 q 的二次方程，并且我知道如何从乘积中得到中间项，正如有人提到的那样。我的问题是，我真的不知道像在纸上那样在代码中执行此操作是否有效且正确。

Answer 1

令

a

b

c

为实数，即几何级数的前三个元素。假设它们都不为 0。否则，“级数”是退化的。

令比率

r

为实数，即连续元素之间的比率。因此，

r = b/a                        (1)
r = c/b                        (2)

求解

a

和

c

的方程 (1) 和 (2) 得出：

a = b/r                        (3)
c = br                         (4)

给定乘积

p

，方程（3）和（4）让我们可以直接找到

b

：

p = abc = (b/r)(b)(br)
p = bbb = b³
b = p¹ᐟ³                       (5)

因此，

b

是乘积的立方根。

[注： 此答案中仅使用了两个小数指数：1/3 和 2/3。如果微小的 Unicode 指数难以阅读，您可能需要放大。]

将方程 (1) 设置为等于方程 (2)，可得出

c

的另一个方程：

b/a = c/b
bb = ac
b² = ac
c = b²/a
c = (p¹ᐟ³)²/a
c = p²ᐟ³/a                     (6)

转向总和

s

，我们有：

s = a + b + c
s = a + (p¹ᐟ³) + (p²ᐟ³/a)

两边同时乘以

a

，然后两边减去

as

，得到：

as = aa + a(p¹ᐟ³) + a(p²ᐟ³/a)
sa = a² + (p¹ᐟ³)a + p²ᐟ³
0 = a² + (p¹ᐟ³)a - sa + p²ᐟ³
0 = a² + (p¹ᐟ³-s)a + p²ᐟ³       (7)

方程（7）可以通过熟悉的二次公式来求解。对于二次方程

0 = Ax² + Bx + C

，其中使用大写字母与上面的小写字母进行区分，我们可以将方程（7）映射如下：

• A

  是

  1

• B

  是

  p¹ᐟ³-s

• C

  是

  p²ᐟ³

• x

  是

  a

判别式，

B² - 4AC

，确定根的数量和类型。

• 正 — 有两个不同的实数根
• zero – 有一个实数根。这有时称为双根。
• 负 – 两个根是复共轭。

对于方程（7），我们有

B² = (p¹ᐟ³-s)²
B² = (p¹ᐟ³)² + 2(p¹ᐟ³)(-s) +(-s)²
B² = p²ᐟ³ - 2s(p¹ᐟ³) + s²

4AC = 4(1)(p²ᐟ³)
4AC = 4p²ᐟ³

B² - 4AC = p²ᐟ³ - 2s(p¹ᐟ³) + s² - 4p²ᐟ³
B² - 4AC = -3p²ᐟ³ - 2s(p¹ᐟ³) + s²
B² - 4AC = s² - 2(p¹ᐟ³)s - 3p²ᐟ³
B² - 4AC = (s + p¹ᐟ³)(s - 3p¹ᐟ³)

设计用于查找该问题的几何级数

a

、

b

和

c

的程序必须分析判别式，并相应地提出解决方案。

对于存在的实数解：

• 解方程(7)即可确定

  a

的值
• 方程（5）给出

  b

• 方程（6）给出

  c