计算通过高斯立方体的电通量

Question

我正在尝试编写一个简单的

Python

脚本，该脚本使用黎曼积分（我是意识到在这样做的过程中，我重新创建了许多内置于 

1 statocoulumb

 和 

2

 的实用程序。

为此，我定义了函数 

Python

（返回两个

NumPy

 数组/向量的点积）、

dot(vec0, vec1)

（返回微分面积向量）和 

NumPy

（返回电由于原点处的点电荷而在某一点的场矢量）。然后我用简单的黎曼积分在立方体的一个面上（顶面，面积矢量指向

da(x,y,z,dx,dy,dz)

方向）“积分”，期望找到

Evector(x,y,z)

的通量（来自高斯定律）。相反，我发现

+z

。不幸的是，我不清楚为什么（请注意，这不会随着黎曼分区数量的增加或减少而改善（即

(1/6) 4π

）。

我哪里做错了？

~0.006

这里有几个小错误：

Answer 1

xstepmax, ystepmax, zstepmax
• 的分子应该是

  import numpy as np
  
  q=1 # 1 statocoulomb
  
  def dot(vec0, vec1):
      return vec0 @ vec1
  
  def da(x, y, z, dx, dy, dz):
      return np.array([x*dy*dz, y*dx*dz, z*dx*dy])
  
  def Evector(x, y, z):
      r2 = x**2 + y**2 + z**2
      return np.array([x, y, z]) * (q / r2)
  
  # Define bounds of integration for x, y, and z
  xmin = -1
  xmax = 1
  ymin = -1
  ymax = 1
  zmin = -1
  zmax = 1
  
  # Define number of steps for x, y, and z
  xstepmax = 101
  ystepmax = 101
  zstepmax = 101
  
  # Define step size for x, y, and z
  dx = (xmax-xmin)/xstepmax
  dy = (ymax-ymin)/ystepmax
  dz = (zmax-zmin)/zstepmax
  
  # Initial value of flux
  flux = 0
  
  for xsteps in range(0,xstepmax):
      x =  xmin + (dx * xsteps) # Current x value, starting at xmin and increasing by dx with each iteration
  
      for ysteps in range(0,ystepmax):
          y = ymin + (dy * ysteps) # Current y value, starting at ymin and increasing by dy with each iteration
                  flux += dot(Evector(x,y,1), da(x,y,1,dx,dy,0)) * dx * dy # dot(E,da) * dx * dy 
  
  print(flux)

   而不是 

  Evector

  ，因为您必须归一化方向向量（在这种情况下也是电荷的位移）：

  r^3

  同面积元向量
r^2
• ：

  def Evector(x, y, z):
      rv = np.array([x, y, z])
      r3 = np.dot(rv, rv) ** 1.5
      return rv * (q / r3)
  

  当您在顶面上积分时，法线应该是
dA
• 而不是

  def da(nx, ny, nz, dx, dy, dz):
      return np.array([nx*dy*dz, ny*dx*dz, nz*dx*dy]) \
           / np.linalg.norm(np.array([nx, ny, nz]))

  。也不需要再次乘以

  (0,0,1)

  ，因为面积元素是

  (x,y,1)

  的大小：

  dx * dy

  结果：

da