如何在 Sympy 中找到泰勒级数的第 n 项

Question

有没有一种方法可以在不定义 n 值的情况下计算泰勒级数展开式的第 n 项？对于正弦，它是

(-1)**n*x**(2*n+1)/(2*n+1)!

。在 Maxima 中，它是一个（某种程度上）与

powerseries(sin(x), x, 0)

相关的形式。

Answer 1

使用数学表达式：f^(n)(x) / n！ x^n:

diff(f(x), *[x for _ in xrange(n)]) / factorial(n) * x**n

*

的魔力只是解压列表：

 diff(f(x), *[x, x, x])

相当于：

 diff(f(x), x, x, x)

Answer 2

问题提出近十年后，Sympy 得到改进并实施了Formal Power Series。唯一的问题是文档中没有涵盖部分 API（特别是类属性，因此请参阅 sympy/series/formal.py 源代码来深入研究）。

因此，这是一个获取正弦函数幂级数第 n^th 项的示例，如最初所问：

from sympy import simplify, fps, sin
from sympy.abc import x, n

FormalPowerSeries

使用关键函数

fps

:

计算

sin_fps = fps(sin(x))

结果并不像问题中所述的那样紧凑，因为对所有整数进行级数求和，而只有奇数项是非零。

从该系列中，可以使用

.ak

属性访问每个系数的公式，该属性返回一个

SeqFormula

序列，该序列本身具有

.formula

属性：

ak = sin_fps.ak.formula

现在，在正弦和余弦的特殊情况下，系数公式是一个Piecewise定义的函数对象）。从中，我可以通过深入研究分段表达式的

.args

来仅提取奇数系数：

ak_odd = ak.args[0][0]

最后，这个表达式可以通过用 2*n+1 替换 k 来简化。然而，这需要获取对构建公式时实际使用的Dummy变量 k 的引用。查看

FormalPowerSeries

的源代码给了我这个：

k = sin_fps.ak.variables[0]
ak_odd.subs(k, 2*n+1)

这与正弦级数系数的经典公式相匹配，请记住 Γ(2n+2) = (2n+1)!（参见 Gamma 函数）。

Answer 3

这是一系列数字：

4、10、16、22、28

序列的第 n 项始终写成“?n + ?”的形式。

“n”前面的数字始终是从一项到下一项的差值。由于差值为 6，因此我们规则的第一部分将是“6n”。规则遵循六次乘法表：6、12、18、24...等。

序列中的数字总是比 6 乘法表小 2，因此我们通过减去 2 来“调整”我们的规则。现在将其放在一起得出： 第 n 项 = 6n - 2。

欢迎您的光临，很乐意为您提供帮助:-)