ODE事件的数量随着条件的简单ODE而变化

Question

我有以下简单的ODE：

dx/dt=-1

初始条件x（0）= 5时，我对x（t）== 1感兴趣。所以我有以下事件功能：

function [value,isterminal,direction] = test_events(t,x)
    value = x-1;
    isterminal = 0;
    direction = 0;
end

这应该在t = 4时产生一个事件。但是，如果我运行以下代码，我会得到两个事件，一个在t = 4，一个在附近的位置t = 4 + 5.7e-14：

options = odeset('Events',@test_events);
sol = ode45(@(t,x)-1,[0 10],5,options);
fprintf('%.16f\n',sol.xe)
% 4.0000000000000000
% 4.0000000000000568

如果我运行类似的代码来找到x（t）== 0或x（t）== - 1（值= x;或值= x + 1;分别），我只有一个事件。为什么这会产生两个事件？

更新：如果选项结构更改为以下内容：

options = odeset('Events',@test_events,'RelTol',1e-4);

...然后ODE仅在t = 4 + 5.7e-14时返回一个事件。如果'RelTol'设置为1e-5，则在t = 4时返回一个事件。如果'RelTol'设置为1e-8，则返回与默认事件相同的两个事件（'RelTol'= 1e-3）。此外，将初始条件从x（0）= 5更改为x（0）= 4会产生单个事件，但设置x（0）= 4和'RelTol'= 1e-8会产生两个事件。

更新2：观察sol.x和sol.y输出（分别为t和x），时间以整数[0 1 2 3 4 5 6 7 ...]的形式进行，x以整数的形式前进到x（t） = 5）像这样：[5 4 3 2 1 1.11e-16 -1.000 -2.000 ...]。这表明在t = 4和t = 5之间存在某种情况，这会在ODE解决方案中产生“碰撞”。为什么？

Answer 1

一个可能解释如何在这个简单问题中出现舍入误差的推测：使用ODE导数函数的评估k_n（也称为“密集输出”）在内部步骤之间插入解。理论形式是

b_1(u)k_1 + b_2(u)k_2 + ...b_s(u)k_s

其中0 <= u<= 1它是内部点之间的间隔参数，即t = (1-u)*t_k+u*t_{k+1}。

系数多项式是非平凡的。虽然在示例中所有的k_i=1都是常数，但总和b_1(u)+...+b_s(u)的求值可以累积舍入误差，这些误差在接近根的解值中变得可见，即使y_k和y_{k+1}是精确的。在该累积浮点噪声范围内，该值可能在根周围振荡，导致检测到多个过零点。