为什么geom_smooth中的斜率不同取决于R中的变量顺序？

Question

当我在ggplot中绘制数据并添加回归线时，根据哪个变量定义为x和y，我得到不同的斜率。我预计这些情节只是反映出来，但事实并非如此。我错过了什么吗？

# create example data
v1 <- c(0.5, 0.8, 0.8, 0.8, 0.7, 0.9, 0.8, 0.7, 0.8, 0.7, 0.5, 0.6, 0.6, 0.6, 0.7,
    0.3, 0.5, 0.8, 0.9, 0.5, 0.8, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.6, 0.8, 0.6, 0.4, 0.6)
v2 <- c(0.6, 0.9, 0.8, 0.8, 0.7, 0.8, 0.9, 0.3, 0.9, 0.7, 0.4, 0.7, 0.6, 0.7, 0.7,
    0.0, 0.5, 0.7, 0.7, 0.4, 0.8, 0.8, 0.8, 0.8, 0.7, 0.4, 0.8, 0.5, 0.6, 0.6)
test1 <- data.frame(cbind(v1,v2))


# plot once with v1 as x and v2 as y and visa versa
ggplot(test1, aes(x=v1, y=v2)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(data= test1, method=lm,aes(x=v1, y=v2))  + 
  xlim(c(0,1))+ylim(c(0,1)) +
  geom_abline(col = "black")

ggplot(test1, aes(x=v2, y=v1)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(data= test1, method=lm,aes(x=v2, y=v1))  +
  xlim(c(0,1))+ylim(c(0,1)) + 
  geom_abline(col = "black")

Answer 1

The short answer

当你调用geom_smooth()时，它会计算y = a + bx形式的简单线性回归（或OLS回归）的斜率。

考虑到y变量的值，OLS就是试图提出x变量的最佳预测。考虑到x变量的值，这与尝试提出y变量的最佳预测是不同的目标。

因此，如果您将aes(x = v1, y = v2)的顺序更改为aes(x = v2, y = v1)，那么您将使用geom_smooth()来实现两个不同的，不同的目标。

Illustration

想象一下，您有以下数据集：

当您运行y ~ x的OLS回归时，您会得到以下模型

y = 0.167 + 1.5*x

这通过进行以下预测来优化y的预测，这些预测具有相关的错误：

OLS回归的预测在最右列中的值的总和（即，平方和）尽可能小的意义上是最优的。

当你运行x ~ y的OLS回归时，你想出了一个不同的模型：

x = -0.07 + 0.64*y

这通过进行以下预测以及相关错误来优化x的预测。

同样，这是最优的，即最右边的列的值的总和尽可能小（等于0.071）。

现在，假设您试图使用代数反转第一个模型y = 0.167 + 1.5*x，为您提供模型x = -0.11 + 0.67*x。

这将为您提供以下预测和相关错误：

最右边一列中的值之和是0.074，它大于你在y上回归x得到的模型的相应和，即x ~ y模型。换句话说，“倒置”模型比简单的x ~ y回归模型做得更差。