将多元多项式转换为矩阵表示

Question

假设我有一个多元多项式：

import sympy

x_1, x_2, x_3, x_4 = sympy.symbols('x_1 x_2 x_3 x_4')

expressions = [
           -x_1*x_1-x_2*x_2+x_1*x_2,
           x_2*x_2-x_1*x_2,
           x_1*x_1-x_1*x_2,
           x_1*x_2,
           x_1*x_1-x_1*x_3,
           x_1*x_3,
           x_3*x_3-x_2*x_3,
           -x_2*x_2-x_4*x_4+x_2*x_4,
           x_2*x_2-x_2*x_3,
           x_2*x_3,
           -x_3*x_3-x_4*x_4+x_3*x_4,
           x_3*x_4,
          ]

model = sympy.Poly(sympy.Add(*expressions))
model

# Poly(x_1**2 - x_2*x_3 + x_2*x_4 + 2*x_3*x_4 - 2*x_4**2, x_1, x_2, x_3, x_4, domain='ZZ')

请注意，变量是

[x_1, x_2, x_3, x_4]

，因此可以将多项式的系数表示为 4x4 方阵，其中平方项的系数（即

x_i*x_i

）是沿矩阵的对角项，并且-对角项取决于

x_i*x_j

的系数：

[[1, 0,  0,  0],
 [0, 0, -1,  1],
 [0, 0,  0,  2],
 [0, 0,  0, -2]
]

从

sympy

多项式开始，是否可以提取系数并构造相应的

sympy

矩阵，如上所示，对于任何具有变量

[x_1, x_2, ..., x_N]

的多项式？

最终，我真的希望获得最终的矩阵作为

numpy

数组，以便它可以用于

sympy

之外的额外计算。

Answer 1

只要所有单项式都是 2 次（即

a_ij * x_i * x_j

），这应该有效：

import sympy

x_1, x_2, x_3, x_4 = sympy.symbols('x_1 x_2 x_3 x_4')

expressions = [
           -x_1*x_1-x_2*x_2+x_1*x_2,
           x_2*x_2-x_1*x_2,
           x_1*x_1-x_1*x_2,
           x_1*x_2,
           x_1*x_1-x_1*x_3,
           x_1*x_3,
           x_3*x_3-x_2*x_3,
           -x_2*x_2-x_4*x_4+x_2*x_4,
           x_2*x_2-x_2*x_3,
           x_2*x_3,
           -x_3*x_3-x_4*x_4+x_3*x_4,
           x_3*x_4,
          ]

model = sympy.Add(*expressions)

h = sympy.hessian(model, (x_1, x_2, x_3, x_4))
Q = sympy.Rational(1, 2) * h.subs({x_1:0, x_2:0, x_3:0, x_4:0})
sympy.pprint(Q)

它给出：

⎡1   0     0     0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢0   0    -1/2  1/2⎥
⎢                  ⎥
⎢0  -1/2   0     1 ⎥
⎢                  ⎥
⎣0  1/2    1    -2 ⎦

如果需要，您可以将 if 转换为上三角矩阵。