如何避免具有多列的numpy数组的精确总和

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我一直认为，numpy uses是一种pairwise-summation，它确保了float32的高精度 - 操作：

import numpy as np
N=17*10**6  # float32-precision no longer enough to hold the whole sum
print(np.ones((N,1),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [17000000.], kind of expected

但是，如果矩阵具有多个列，则看起来好像使用了不同的算法：

print(np.ones((N,2),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [16777216. 16777216.] the error is just to big
print(np.ones((2*N,2),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [16777216. 16777216.] error is bigger

可能sum只是天真地总结所有价值观。一个迹象是16777216.f+1.0f=16777216.f，例如：

one = np.array([1.], np.float32)
print(np.array([16777215.], np.float32)+one)  # 16777216.
print(np.array([16777216.], np.float32)+one)  # 16777216. as well

为什么numpy不使用多列的成对求和，并且numpy也可以强制使用成对求和多列？

我的numpy版本是1.14.2，如果它发挥作用。

python numpy floating-accuracy ieee-754
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我真的没有解释，但似乎与内存布局有关。使用fortran顺序而不是默认的C顺序，我得到了所需的输出。

>>> np.ones((N,2),dtype=np.float32, order='C').sum(axis=0)
array([16777216., 16777216.], dtype=float32)

>>> np.ones((N,2),dtype=np.float32, order='F').sum(axis=0)
array([17000000., 17000000.], dtype=float32)
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这种行为是由于在减少操作期间numpy访问内存的方式（“添加”只是一种特殊情况）以提高缓存的利用率。

对于某些情况（如上所述），可以强制执行成对求和而不会对性能产生重大影响。但总的来说，执行它会导致大量性能损失 - 使用双精度可能更容易，这在大多数情况下可以缓解上述问题。

可以看到成对求和，作为“添加”操作的非常具体的优化，如果满足一些约束（稍后更多），则完成。

求和（以及许多其他缩减操作）是内存带宽限制的。如果我们沿着一个连续的轴相加，那么生命是好的：获取索引i的缓存中的内存将被直接重用于索引i+1，i+2，...的计算，而不会在被使用之前从缓存中逐出。

情况是不同的，当求和不是沿着一个连续的轴：添加一个float32元素16-float32s被提取到缓存中，但其中15个在被使用之前被驱逐，并且必须再次获取 - 什么浪费。

这就是为什么numpy在这种情况下逐行求和：将第一行和第二行相加，然后将第三行添加到结果中，然后是第四行，依此类推。但是，成对求和仅用于一维求和，不能在此处使用。

在以下情况下执行成对求和：

  • sum被称为一维numpy数组
  • sum沿着一个连续的轴被称为

numpy（但是？）提供了一种强制成对求和的方法，而不会对性能产生重大负面影响。

我对它的看法：目标应该是沿着连续轴进行求和，这不仅更精确，而且可能更快：

A=np.ones((N,2), dtype=np.float32, order="C") #non-contiguous
%timeit A.sum(axis=0)
# 326 ms ± 9.17 ms

B=np.ones((N,2), dtype=np.float32, order="F") # contiguous
%timeit B.sum(axis=0)
# 15.6 ms ± 898 µs

在这种特殊情况下，连续只有2个元素，开销太大（参见here解释的类似行为）。

它可以做得更好，例如通过仍然不精确的einsum：

%timeit np.einsum("i...->...", A)
# 74.5 ms ± 1.47 ms 
np.einsum("i...->...", A)
# array([16777216.,  16777216.], dtype=float32)

甚至：

%timeit np.array([A[:,0].sum(), A[:,1].sum()], dtype=np.float32)
# 17.8 ms ± 333 µs 
np.array([A[:,0].sum(), A[:,1].sum()], dtype=np.float32)
# array([17000000., 17000000.], dtype=float32)

这不仅与连续版本一样快（加载内存两次的代价不如加载内存16倍），而且精确，因为sum用于一维numpy数组。

对于更多列，对于numpy和einsum-way，连续情况的差异要小得多：

B=np.ones((N,16), dtype=np.float32, order="F")
%timeit B.sum(axis=0)
# 121 ms ± 3.66 ms 

A=np.ones((N,16), dtype=np.float32, order="C")
%timeit A.sum(axis=0)
# 457 ms ± 12.1 ms 

%timeit np.einsum("i...->...", A)
# 139 ms ± 651 µs per loop

但是对于“精确”技巧来说，性能非常糟糕，可能是因为计算不再隐藏延迟：

def do(A):
    N=A.shape[1]
    res=np.zeros(N, dtype=np.float32)
    for i in range(N):
        res[i]=A[:,i].sum()
    return res
%timeit do(A)
# 1.39 s ± 47.8 ms

以下是numpy实现的血腥细节。

差异可以在FLOAT_add的代码中看到，其中包含来自here的定义：

#define IS_BINARY_REDUCE ((args[0] == args[2])\
    && (steps[0] == steps[2])\
    && (steps[0] == 0))

#define BINARY_REDUCE_LOOP(TYPE)\
   char *iop1 = args[0]; \
   TYPE io1 = *(TYPE *)iop1; \

/** (ip1, ip2) -> (op1) */
#define BINARY_LOOP\
    char *ip1 = args[0], *ip2 = args[1], *op1 = args[2];\
    npy_intp is1 = steps[0], is2 = steps[1], os1 = steps[2];\
    npy_intp n = dimensions[0];\
    npy_intp i;\
    for(i = 0; i < n; i++, ip1 += is1, ip2 += is2, op1 += os1)

/**begin repeat
* Float types
*  #type = npy_float, npy_double, npy_longdouble#
*  #TYPE = FLOAT, DOUBLE, LONGDOUBLE#
*  #c = f, , l#
*  #C = F, , L#
*/

/**begin repeat1
 * Arithmetic
 * # kind = add, subtract, multiply, divide#
 * # OP = +, -, *, /#
 * # PW = 1, 0, 0, 0#
 */
NPY_NO_EXPORT void
@TYPE@_@kind@(char **args, npy_intp *dimensions, npy_intp *steps, void *NPY_UNUSED(func))
{
    if (IS_BINARY_REDUCE) {
#if @PW@
        @type@ * iop1 = (@type@ *)args[0];
        npy_intp n = dimensions[0];

        *iop1 @OP@= pairwise_sum_@TYPE@(args[1], n, steps[1]);
#else
        BINARY_REDUCE_LOOP(@type@) {
            io1 @OP@= *(@type@ *)ip2;
        }
        *((@type@ *)iop1) = io1;
#endif
    }
    else if (!run_binary_simd_@kind@_@TYPE@(args, dimensions, steps)) {
        BINARY_LOOP {
            const @type@ in1 = *(@type@ *)ip1;
            const @type@ in2 = *(@type@ *)ip2;
            *((@type@ *)op1) = in1 @OP@ in2;
        }
    }
}

曾经生成的如下所示：

NPY_NO_EXPORT void
FLOAT_add(char **args, npy_intp *dimensions, npy_intp *steps, void *NPY_UNUSED(func))
{
    if (IS_BINARY_REDUCE) {
#if 1
        npy_float * iop1 = (npy_float *)args[0];
        npy_intp n = dimensions[0];

        *iop1 += pairwise_sum_FLOAT((npy_float *)args[1], n,
                                        steps[1] / (npy_intp)sizeof(npy_float));
#else
        BINARY_REDUCE_LOOP(npy_float) {
            io1 += *(npy_float *)ip2;
        }
        *((npy_float *)iop1) = io1;
#endif
    }
    else if (!run_binary_simd_add_FLOAT(args, dimensions, steps)) {
        BINARY_LOOP {
            const npy_float in1 = *(npy_float *)ip1;
            const npy_float in2 = *(npy_float *)ip2;
            *((npy_float *)op1) = in1 + in2;
        }
    }
}

FLOAT_add可用于一维缩减，在这种情况下：

  • args[0]是指向结果/初始值的指针（与args[2]相同）
  • args[1]是输入数组
  • steps[0]和steps[2]是0，即指针是标量。

然后可以使用成对求和（用IS_BINARY_REDUCE检查）。

FLOAT_add可用于添加两个向量，在这种情况下：

  • args[0]第一个输入数组
  • args[1]第二个输入数组
  • args[2]输出数组
  • steps - 在数组中为上述数组从一个元素到另一个元素的步骤。

参数@PW@仅用于求和1 - 对于所有其他操作，不使用成对求和。

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