边界条件在热方程和Crank-Nicholson的有限差分解中的应用

Question

下面的代码求解一维热方程，该方程代表了一根棒，其端部在初始条件10 * np.sin（np.pi * x）下保持零温度。

Dirichlet边界条件（两端为零温度）如何用于此计算？有人告诉我矩阵A的上，下两行包含两个非零元素，而缺少的第三个元素is Dirichlet条件。但是我不知道这种情况会通过哪种机制影响计算。在A中缺少元素的情况下，u_ {0}或u_ {n}如何为零？

下面的有限差分法使用Crank-Nicholson。

import numpy as np
import scipy.linalg

# Number of internal points
N = 200

# Calculate Spatial Step-Size
h = 1/(N+1.0)
k = h/2

x = np.linspace(0,1,N+2)
x = x[1:-1] # get rid of the '0' and '1' at each end

# Initial Conditions
u = np.transpose(np.mat(10*np.sin(np.pi*x)))

# second derivative matrix
I2 = -2*np.eye(N)
E = np.diag(np.ones((N-1)), k=1)
D2 = (I2 + E + E.T)/(h**2)

I = np.eye(N)

TFinal = 1
NumOfTimeSteps = int(TFinal/k)

for i in range(NumOfTimeSteps):
    # Solve the System: (I - k/2*D2) u_new = (I + k/2*D2)*u_old
    A = (I - k/2*D2)
    b = np.dot((I + k/2*D2), u)
    u = scipy.linalg.solve(A, b)

Answer 1

让我们看一个简单的例子。我们假设N = 3，即三个内部点，但我们首先还将在矩阵D2中包括描述近似二阶导数的边界点：

      1  /  1 -2  1  0  0 \
D2 = --- |  0  1 -2  1  0 |
     h^2 \  0  0  1 -2  1 /

[第一行表示x_1处的近似二阶导数为1/h^2 * (u_0 - 2*u_1 + u_2)。我们知道u_0 = 0，但是由于Dirichlet边界条件是同质的，因此我们可以简单地从方程中省略它，并且对于矩阵e可以得到相同的结果

      1  /  0 -2  1  0  0 \
D2 = --- |  0  1 -2  1  0 |
     h^2 \  0  0  1 -2  0 /

由于u_0和u_{n+1}不是真正的未知数-已知它们为零-我们可以将它们从矩阵中完全删除，然后得到

      1  /  2  1  0 \
D2 = --- |  1 -2  1 |
     h^2 \  0  1 -2 /

矩阵中缺少的条目确实对应于边界条件为零的事实。

Answer 2

有人告诉我，矩阵A包含两个非零元素，以及缺少的第三部分元素（即零）是Dirichlet条件。

我不确定您被告知了什么，但这是我对这个问题的了解。

狄利克雷边界条件确定电位值（在这种情况下为温度）。诺伊曼边界条件将指定点处的通量或一阶导数。如果表面上有对流边界条件，则需要此。

关于处理Dirichlet边界条件，您在不首先考虑边界条件的情况下制定系统矩阵。如果给定节点的温度固定，则可以通过以下方式进行处理：

1. 将给定节点的右侧向量中的行设置为等于边界温度。将左侧矩阵中该行的所有列清零，并将与该节点对应的对角元素设置为1。

Answer 3

我这个答案也没有任何意义，我们要求的是在计算过程中固定值不变，这会影响整个解决方案和整个结果吗？那么如何使值不变？在此过程中，开头和结尾的零不应该改变？怎么样？