2个相似流动性池（LP）的套利计算逻辑

Question

我想弄清楚2个池中相对价格差异背后的套利逻辑是什么。让我进一步扩展：

背景：让我们看一下 Uniswap V2 上遵循常数乘积公式 (X*Y=K) 的 DAI/ETH 池。每个代币通常以 50-50 的方式有相同的美元价值，这样池就平衡了。无需两种资产的实际价格，可以通过 amount_ETH / amount_DAI 计算池的相对价格。另一个来源的另一个矿池与 Uniswap 上的矿池具有不同的相对价格，因此，这创造了套利机会。让我们看下面的例子：

例子： pool_a（在 uniswap 上）有 100,000 DAI 和 20 ETH --> 相对价格是 20/100,000 = 0.0002.
pool_b（另一个）有 50,000 DAI 和 9 ETH --> 相对价格是 9/50,000 = 0.00018.
由于各池的相对价格存在差异，因此存在套利机会。 在这种情况下，由于 relative_price_a > relative_price_b，这意味着 ETH 在 pool_a 中比在 pool_b 中便宜。因此，一个合乎逻辑的套利机会是从 pool_a 购买 ETH 并在 pool_b 上出售以获利。

我的问题：根据上面提供的信息，我如何计算我需要从 pool_a 购买并在 pool_b 上出售的 ETH 数量，以及我在 pool_b 上出售后获得的利润？目的是确保我套利交易后，两个池子的相对价格收敛，之后没有套利机会。

假设：我已经在套利中使用的交换功能中处理了进行交换的费用。

我尝试过的一些事情包括：

• 写出 2 个池的相对价格的方程式，并尝试推导出一个公式，在该公式中我尝试获得所需的未知数量的 ETH，以便我的相对价格收敛，但它似乎不起作用，因为我可能会错过一个有价值的技术或公式
• 我也试过问 chatgpt-4，给出了完全相同的情况，它给我提供了错误的答案，例如购买一个池的全部储备并将其倾倒在另一个池中，这显然是错误的。

我的数学不是最好的，我对套利计算和逻辑的理解可能有问题，所以我来这里寻求对这方面数学有了解的人的帮助。