为 n 个样本在 (x,y,z)-coords 中生成一条线。检查样本 n+1 与生成线的绝对距离是否低于特定阈值

Question

我有一个包含 50 个 x、y、z 坐标样本的数组。这些样本表示手臂的线性运动。我想做以下事情：

1. 在 3d 坐标系中为 50 个样本找到最佳拟合线。
2. 根据新计算出的线，检查新点（样本51）到线的距离是否低于某个阈值。

到目前为止，我尝试使用PCA来计算最佳拟合线，但我对它的理解有些困难。我必须亲手做。 首先，我生成了一个包含 50 个样本的数组。

import random
import numpy as np

x, y, z = np.mgrid[-30:-10:50j], np.mgrid[-50:-30:50j], np.mgrid[0:-10:50j]
points = np.concatenate((x[:, np.newaxis], 
                       y[:, np.newaxis], 
                       z[:, np.newaxis]), 
                      axis=1)
points += np.random.normal(size=points.shape) * 0.8
print(np.shape(points))

这导致了下图。

之后我必须计算 PCA 的 cov 矩阵和特征向量/特征值。

# Mean of every column. 
x, y, z = points[:,0], points[:,1], points[:,2]
mean = np.array((sum(x)/len(x), sum(y)/len(y), sum(z)/len(z)))

# Cov-Matrix
N, M = np.shape(points)
cov = np.zeros((M,M))

for i in range(M):
    for j in range(M):
        summe = 0
        for k in range(N):
            summe += (points[k][i] - mean[i]) * (points[k][j] - mean[j]) / (N-1)
        cov[i, j] = summe

# eigenvectors and eigenvalues. Safe first principle component to variable "eig"
eigval, eigvec = np.linalg.eig(cov)
eig = eigvec[:,np.argmax(eigval)]

最高特征值对应的特征向量是我们的第一个分量。 为了比较结果，我使用sklearn来测试我的价值观是否正确。

与 PCA 相比，我的矢量方向值是相同的：

eig:     [-0.67634469 -0.66399367  0.31885775]
sklearn: [ 0.67634469  0.66399367 -0.31885775]

现在我不知道如何使用这个方向向量来计算到新点的距离。 此外，如果我尝试绘制它，点和云会由于偏移而关闭。

# Plot points in 3D
def plot_line(arr, line):
    fig = plt.figure()
    ax = plt.axes(projection='3d')
    x, y, z = arr[:,0], arr[:,1], arr[:,2]
    ax.scatter3D(x, y, z)
    
    segments = np.arange(-20, 20)[:, np.newaxis] * line
    lineplot = ax.plot(*(segments).T, color="red")
    lineplot = ax.plot(*(line).T, 'ro')

当我有斜率时，如何得到线穿过的点？ 是否有更好/更快的替代方法来获得线路，或者 PCA 是最好的方式吗？

感谢您的帮助！