是否有任何方法可以从计算的角度简化 $ADA^T$，其中 $D$ 是对角矩阵？

Question

设 $A$ 是一个 $m imes n$ 矩阵，不一定是对称的，$D$ 是一个对角线 $n imes n$ 矩阵。在我的问题中，$m < n$ but both $m$ and $n$ have the potential to be quite large, so the computation of $ADA^T$ can take a few seconds as the dimensions get really high. The program I'm writing will carry out this computation numerous times for different variations of $A$ and $D$, so I want to find a way to speed it up, as that could save minutes over the course of the script.

目前，我只是在做

tcrossprod(A %*% D, A)

。但我觉得应该有一种更快的方法来计算它，因为 $D$ 是对角矩阵。在代数或计算方面，有人在这里看到任何好的捷径吗？

Answer 1

只是为了枚举底层C代码所采用的路径

tcrossprod

...

对于密集

A

，隐式类

matrix

：

如果

D

是非负的，那么你可以得到BLAS例程

DSYRK

，它利用了对称性，具有：

tcrossprod(A * rep(sqrt(diag(D, names = FALSE)), each = nrow(A)))

否则，你将陷入 BLAS 例程

DGEMM

：

tcrossprod(A * rep(diag(D, names = FALSE), each = nrow(A)), A)

如果您知道 A 和

D

是有限的，不包含 IEEE 特殊值

Inf

或

NaN

（包括 R 的

NA_real_

），您可以使用

external BLAS

进行实验。如果 R 检测到任一矩阵因子是非有限的，R 将不会使用外部 BLAS。

对于稀疏

A

，正式类

dgCMatrix

：

如果

D

是非负的，那么你可以得到CHOLMOD例程

cholmod_aat

，它利用了对称性，具有：

A@x <- A@x * rep.int(sqrt(diag(D, names = FALSE)), A@p[-1L] - A@p[-ncol(A)])
tcrossprod(A)

否则，您将陷入 CHOLMOD 例程

cholmod_transpose

和

cholmod_ssmult

：

AD <- A
AD@x <- A@x * rep.int(diag(D, names = FALSE), A@p[-1L] - A@p[-ncol(A)])
tcrossprod(AD, A)

在任何情况下，因为

D

是对角线，你应该只需要一个矩阵乘法。