使用有限元方法求解二维扩散方程（热方程）但爆炸

Question

我尝试使用有限元求解二维扩散方程：

numx = 101;   % number of grid points in x
numy = 101; 
numt = 1001;  % number of time steps to be iterated over 
dx = 1/(numx - 1);
dy = 1/(numy - 1);
dt = 1/(10*(numt - 1));


x = 0:dx:1;   %vector of x values, to be used for plotting
y = 0:dy:1;   %vector of y values, to be used for plotting

P = zeros(numx,numy,numt);   %initialize everything to zero

% Initial Condition
mu = 0.5;
sigma = 0.05;
for i=2:numx-1
    for j=2:numy-1
        P(i,j,1) = exp(-( (x(i)-mu)^2/(2*sigma^2) + (y(j)-mu)^2/(2*sigma^2))/(2*sigma^2)) / sqrt(2*pi*sigma^2);           
 end

 end

% Diffusion Equation
for k=1:numt
   for i=2:numx-1
       for j=2:numy-1
           P(i,j,k+1) = P(i,j,k) + .5*(dt/dx^2)*( P(i+1,j,k) - 2*P(i,j,k) + P(i-1,j,k) ) + .5*(dt/dy^2)*( P(i,j+1,k) - 2*P(i,j,k) + P(i,j-1,k) ); 
       end
   end
end

figure(1)
surf(P(:,:,30))

P的初始条件是高斯分布。

但是，当增加k（在我的代码中k = 30）时，P会爆炸。但是，P应该减小，因为它是扩散方程的解。

我不知道P（i，j，k + 1）中的问题，如何解决此问题？

谢谢

Answer 1

P(1, :, :)，P(101, :, :)，P(:, 1, :)和P(:, 101 , :)的值在您的代码中始终为零。这意味着在二维框的边界处P始终为零。它不遵守扩散定律。

首先，应该给边界定一个初始条件。

% Initial Condition
mu = 0.5;
sigma = 0.05;
for i=1:numx
    for j=1:numy
        P(i,j,1) = exp(-( (x(i)-mu)^2/(2*sigma^2) + (y(j)-mu)^2/(2*sigma^2))/(2*sigma^2)) / sqrt(2*pi*sigma^2);           
     end
 end

然后在扩散过程中计算边界处的P值。

% Diffusion Equation
for k=1:numt
   for i=2:numx-1
       for j=2:numy-1
           P(i,j,k+1) = P(i,j,k) + .5*(dt/dx^2)*( P(i+1,j,k) - 2*P(i,j,k) + P(i-1,j,k) ) + .5*(dt/dy^2)*( P(i,j+1,k) - 2*P(i,j,k) + P(i,j-1,k) ); 
       end
   end

   % calculate the value of P at the boudary
   P(1, :, k + 1) = 2 * P(2, :, k + 1) - P(3, : , K + 1);
   P(numx, :, k + 1) = 2 * P(numx - 1, :, k + 1) - P(numx - 2, : , K + 1);
   P(:, 1, k + 1) = 2 * P(:, 2, k + 1) - P(:, 3 , K + 1);
   P(:, numy, k + 1) = 2 * P(:, numy - 1, k + 1) - P(:, numy - 2 , K + 1);
end