如何在考虑两条曲线的 x 值的同时对它们进行卡方检验？

Question

我有两条曲线；一张显示理论曲线，一张显示实验数据。

曲线1（理论曲线）： x 值：

lambdaDiffuse*1e9

y 值：

y_th

曲线2（实验数据）： x 值：

redresse_x

y 值：

coupe

我正在进行卡方检验，以找到与实验结果最相符的参数 ne、Te 和 m。当我使用上面显示的 x 值绘制曲线时（每条曲线不同），我得到以下图：

我用于卡方测试的代码相当简单：

def chi_square(params, lambdaDiffuse, coupe):
    ne, Te, m = params
    y_th = P2(lambdaDiffuse, ne, Te, m)
    chi_square_value = np.sum((coupe - y_th)**2)

其中 P2 是计算给定一组 ne、Te 和 m 值的理论曲线的函数。

问题在于，通过将卡方值计算为

chi_square_value = np.sum((coupe - y_th)**2)

，不会考虑 x 值。这意味着 y_th 和 coupe 位于 x 轴的不同部分，并且 y 值没有按应有的方式分布，如下所示。因此，结果不正确，因为它们没有对齐并且缩放比例不同。

我尝试使用

scipy.interpolate

，如下所示，但无济于事。

def chi_square(params, lambdaDiffuse, coupe):
    ne, Te, m = params
    y_theoretical = P2(lambdaDiffuse, ne, Te, m)
    interpolate_exp = interp1d(redresse_x, coupe, kind='linear', fill_value='extrapolate')
    coupe_interp = interpolate_exp(lambdaDiffuse*1e9)
    chi_square_value = np.sum((coupe_interp - y_theoretical)**2)

如何执行卡方检验并确保两条曲线的缩放比例与使用适当的 x 值绘制它们时所显示的一致？

Answer 1

让我们构建一个 MCVE 来展示如何使用简单的模型找到平移和缩放。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import optimize

def model(x, a, b, c):
    return a * x**2 + b * x + c

我们从模型创建数据并在

x

轴上应用一些移位和缩放：

np.random.seed(12345)
x0 = np.linspace(-1, 1, 200)
x1 = x0 * 0.5  + 1.
p0 = (1, 2, 3)
y = model(x0, *p0)
n = 0.05 * np.random.normal(size=y.size)
yn = y + n

现在我们创建一个适应模型，在使用基础模型之前缩放和移动

x

轴：

def adapted_model(x, scale, loc):
    x0 = (x - loc) / scale
    return model(x0, *p0)

我们针对真实数据优化wrt：

popt, pcov = optimize.curve_fit(adapted_model, x1, yn, p0=[1, -1])
# (array([0.49895806, 1.00052535]),
#  array([[ 3.90617479e-06, -1.97083511e-06],
#         [-1.97083511e-06,  1.58383376e-06]]))

现在我们可以将转换应用于实验数据以适应模型。

fig, axe = plt.subplots()
axe.plot(x0, y, label="Model")
axe.plot(x1, yn, label="Data")
axe.plot(x1, adapted_model(x1, *popt), label="Adapted Model")
axe.legend()
axe.grid()

您可以将模型和数据对齐到

x

轴的比例和位移。