为什么需要旋转变换矩阵才能将坐标与 scikit 图像映射？

Question

我有一组点，它们实际上是 45-45-90 直角三角形的 3 个顶点，还有一些其他点，

a

，应该映射到它们。

import numpy as np

points = np.array([
    ( 90, 416),
    (398, 390),
    (374,  84)
])

a = np.array([
    (0, 1),  # maps to (90, 416)
    (1, 1),  # maps to (398, 390)
    (1, 0)   # maps to (374, 84)
])

我想找到将 a 正确映射到

points

的

相似度变换

。

from skimage import transform

# transformation that makes sense to me
T1 = transform.estimate_transform(
    ttype="similarity",
    src=a,
    dst=points
)

# invert the rotation for no reason
# other than to show that it works
T2 = transform.SimilarityTransform(
    scale=T1.scale,
    rotation=-T1.rotation,
    translation=T1.translation
)

# apply transformations via matrix multiplication
a_T1 = a @ T1.params[:2, :2] + T1.params[:2, 2]
a_T2 = a @ T2.params[:2, :2] + T2.params[:2, 2]

为什么

T2

（除了我最终发现它有效之外，我只是没有任何真正原因地反转了旋转）会产生更好的映射？或者我在实施中犯了一个愚蠢的错误？

Answer 1

不是你。关于变换矩阵有很多不同的约定，而且碰巧

• skimage 使用

  (M @ x.T).T

  作为约定
• 在这种情况下，

  T2.params[:2, :2]

  等于

  T1.params[:2, :2].T

  （如果有偏差，这通常不是正确的。）

但是，我个人总是对这里的惯例感到困惑。为了弄清楚这一点，我必须知道 skimage 变换有一个

__call__

方法，所以你可以用

T1(a)

应用它们，这会给出正确的结果。所以现在只需查看源代码即可看到它调用了

_apply_mat

，如下所示：

    def _apply_mat(self, coords, matrix):
        ndim = matrix.shape[0] - 1
        coords = np.array(coords, copy=False, ndmin=2)

        src = np.concatenate([coords, np.ones((coords.shape[0], 1))], axis=1)
        dst = src @ matrix.T

        # below, we will divide by the last dimension of the homogeneous
        # coordinate matrix. In order to avoid division by zero,
        # we replace exact zeros in this column with a very small number.
        dst[dst[:, ndim] == 0, ndim] = np.finfo(float).eps
        # rescale to homogeneous coordinates
        dst[:, :ndim] /= dst[:, ndim : ndim + 1]

        return dst[:, :ndim]

对于您的变换（仿射），这本质上相当于

(T1.params[:2, :2] @ a.T).T + T1.params[:2, 2]

，它等于

a @ T1.params[:2, :2].T + T1.params[:2, 2]

，同样，您正在计算的内容的转置并等于

a @ T2.params[:2, :2] + T2.params[:2, 2]

。

尽管存在多种约定令人困惑，但我希望这能澄清为什么事情看起来很奇怪！