拟合直方图上的泊松分布

Question

尽管有很多关于将泊松分布拟合到直方图上的帖子，但是跟踪了所有这些帖子，它们似乎都不适合我。

我想在这个直方图上拟合泊松分布，我已经绘制了这样的：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
from scipy.misc import factorial

def poisson(t, rate, scale): #scale is added here so the y-axis 
# of the fit fits the height of histogram
    return (scale*(rate**t/factorial(t))*np.exp(-rate))

lifetimes = 1/np.random.poisson((1/550e-6), size=100000)

hist, bins = np.histogram(lifetimes, bins=50)
width = 0.8*(bins[1]-bins[0])
center = (bins[:-1]+bins[1:])/2
plt.bar(center, hist, align='center', width=width, label = 'Normalised data')

popt, pcov = curve_fit(poisson, center, hist, bounds=(0.001, [2000, 7000]))
plt.plot(center, poisson(center, *popt), 'r--', label='Poisson fit')
# import pdb; pdb.set_trace()
plt.legend(loc = 'best')
plt.tight_layout()

我得到的直方图看起来像这样：

我给出了7000的比例猜测，将分布缩放到与我绘制的直方图的y轴相同的高度，并将2000的猜测作为速率参数，因为它是2000 > 1/550e-6。如您所见，拟合的红色虚线在每个点都为0。很奇怪pdb.set_trace()告诉我，poisson(center, *popt)给了我一个0值列表。

    126     plt.plot(center, poisson(center, *popt), 'r--', label='Poisson fit')
    127     import pdb; pdb.set_trace()
--> 128     plt.legend(loc = 'best')
    129     plt.tight_layout()
    130 


ipdb> 
ipdb> poisson(center, *popt)
array([ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,
        0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,
        0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,
        0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.])

这没有意义。我想要的是在直方图上拟合泊松分布，使其找到泊松分布方程的最佳系数。我怀疑它可能与此有关，因为我正在绘制lifetimes的直方图，这是技术上从泊松分布的逆的随机采样数据。所以我试着计算分布的jacobian，这样我就可以对变量进行更改，但它仍然不起作用。我觉得我在这里遗漏了一些不是编码而是数学相关的东西。

Answer 1

你的计算是四舍五入到零。使用2000和7000的比例，您的泊松公式减少到：

7000 * 2000 ^ t /（e ^（2000）* t！）

使用斯特林的近似值t！ 〜（2 * pi * t）^（1/2）*（t / e）^ t得到：

[7000 * 2000 ^ t] / [Sqrt（2 * pi * t）* e ^（2000-t）*（t ^ t）]〜泊松（t）

我使用python来获得poisson（t）的前几个值：

poisson(1) -> 0
poisson(2) -> 0
poisson(3) -> 0

使用wolfram alpha，你会发现分母的导数大于所有大于零的实数的分子的导数。因此，当t变大时，泊松（t）接近零。

这意味着无论是什么，如果你的速率是2000，泊松函数将返回0。

抱歉格式化。他们不会让我发布TeX。