Numpy矩阵行列式精度问题

Question

我试图在python上编写一个脚本来确定使用Gauss方法的矩阵行列式。它工作正常，但对我来说精度还不够。我的代码是：

import scipy.linalg as sla
import numpy as np
def my_det(X):
    n = len(X)
    s = 0
    if n != len(X[0]):
        return ValueError
    for i in range(0, n):
        maxElement = abs(X[i][i])
        maxRow = i
        for k in range(i+1, n):
            if abs(X[k][i]) > maxElement:
                maxElement = abs(X[k][i])
                maxRow = k
        if maxRow != i:
            s += 1
        for k in range(i, n):
            X[i][k], X[maxRow][k] = X[maxRow][k], X[i][k]
        for k in range(i+1, n):
            c = -X[k][i]/X[i][i]
            for j in range(i, n):
                if i == j:
                    X[k][j] = 0
                else:
                    X[k][j] += c * X[i][j]
    det = (-1)**s
    for i in range(n):
        det *= X[i][i]
    return det

我有这个代码的测试：

for x in range(10):
X = np.random.rand(3,3)
if np.abs(my_det(X) - sla.det(X)) > 1e-6:
    print('FAILED')

我的功能未通过所有测试。我尝试过Decimals，但它没有帮助。怎么了？

Answer 1

代码未通过测试条件的原因

abs(my_det(X) -
sla.det(X)) < 1e-6

，不是由于缺乏精确性而是因为符号的变化导致了my_det突变X的意外副作用：

X[i][k], X[maxRow][k] = X[maxRow][k], X[i][k]

此行交换会更改行列式的符号。代码使用s来调整符号的变化，但X本身的改变方式改变了行列式的符号。

因此传递给X的my_det与随后传递给X的sla.det不同。这是一个例子，其中X的改变改变了行列式的符号：

In [55]: X = np.random.rand(3, 3); X
Out[55]: 
array([[ 0.38062719,  0.41892961,  0.88277747],
       [ 0.39881724,  0.00188804,  0.79258322],
       [ 0.40195279,  0.3950311 ,  0.32771527]])

In [56]: my_det(X)
Out[56]: 0.098180005266934267

In [57]: X
Out[57]: 
array([[ 0.40195279,  0.3950311 ,  0.32771527],
       [ 0.        , -0.39006151,  0.46742438],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.62620267]])

In [58]: sla.det(X)
Out[58]: -0.09818000526693427

---

您可以通过在X中制作my_det的副本来解决问题：

def my_det(X):
    X = np.array(X, copy=True)  # copy=True is the default; shown here for emphasis
    ...

因此，随后X内my_det的变化不再影响X之外的my_det。

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import scipy.linalg as sla
import numpy as np


def my_det(X):
    X = np.array(X, dtype='float64', copy=True)
    n = len(X)
    s = 0
    if n != len(X[0]):
        return ValueError
    for i in range(0, n):
        maxElement = abs(X[i, i])
        maxRow = i
        for k in range(i + 1, n):
            if abs(X[k, i]) > maxElement:
                maxElement = abs(X[k, i])
                maxRow = k
        if maxRow != i:
            s += 1
        for k in range(i, n):
            X[i, k], X[maxRow, k] = X[maxRow, k], X[i, k]
        for k in range(i + 1, n):
            c = -X[k, i] / X[i, i]
            for j in range(i, n):
                if i == j:
                    X[k, j] = 0
                else:
                    X[k, j] += c * X[i, j]
    det = (-1)**s
    for i in range(n):
        det *= X[i, i]
    return det


for i in range(10):
    X = np.random.rand(3, 3)
    diff = abs(my_det(X) - sla.det(X))
    if diff > 1e-6:
        print('{} FAILED: {:0.8f}'.format(i, diff))

---

另请注意dtype很重要：

In [88]: my_det(np.arange(9).reshape(3,3))
Out[88]: 6

而正确的答案是

In [89]: my_det(np.arange(9).reshape(3,3).astype(float))
Out[89]: 0.0

由于my_det使用除法（在c = -X[k, i] / X[i, i]中），我们需要X具有浮点dtype，以便/执行浮点除法，而不是整数除法。所以要解决这个问题，使用X = np.asarray(X, dtype='float64')来确保X有dtype float64：

def my_det(X):
    X = np.array(X, dtype='float64', copy=True)
    ...

随着这种变化，

In [91]: my_det(np.arange(9).reshape(3,3))
Out[91]: 0.0

现在给出了正确的答案。

Answer 2

为什么不使用numpy.linalg.det或scipy.linalg.det函数？这些函数使用LU分解和LAPACK计算行列式。它会比任何“手动”功能更快。

Answer 3

即使对于3x3矩阵或更多，使用numpy也会更简单：

import numpy as np
a = np.array([[2,1,4],[4,2,1],[5,1,3]])
print(np.linalg.det(a))