如何从正交矩阵空间均匀采样

Question

生成随机正交矩阵的一种简单方法是首先对随机矩阵进行采样，然后应用奇异值分解

def random_orthonormal_matrix(n):
    random_matrix = np.random.normal(0., 1., (n, n))
    u, _, _ = np.linalg.svd(random_matrix)
    return u

但是，随着

n

的增加，使用此过程似乎会限制正交矩阵采样的空间。特别是，矩阵似乎越来越不可能从极端的任一端采样，即接近单位矩阵的单位矩阵或负矩阵：

def cosine_similarity(A, B):
    norm_A = np.linalg.norm(A)
    norm_B = np.linalg.norm(B)
    
    return np.dot(A.flatten(), B.flatten()) / (norm_A * norm_B)

for n in range(4, 33, 4):
    similarities = []
    I = np.identity(items_n)
    for _ in range(100000):
        U = random_orthonormal_matrix(n)
        similarities.append(cosine_similarity(U, I))
    print(np.min(similarities), np.max(similarities))

生成输出

-0.9512750256370359 0.9196429830937393
-0.5402804372155989 0.5641902334710601
-0.33279493103542684 0.3570616519070167
-0.26855564226727774 0.26038092858834694
-0.24803547122804348 0.21364982076125164
-0.18041307918712912 0.18015163443704285
-0.1502303153596804 0.15272379170859116
-0.13915507336472144 0.13962760476513508

如何修改此过程，使得到单位矩阵的预期距离对于任何

n

都是均匀的？更进一步，是否可以直接生成给定距离的随机正交矩阵

d

？

Answer 1

Mezzadri 算法已在 SciPy 中实现，详情请参阅 https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/ generated/scipy.stats.ortho_group.html

因此，如果您将 def random_orthonormal_matrix(n) 替换为

from scipy.stats import ortho_group
def random_orthonormal_matrix(n):
    return ortho_group.rvs(dim=n)

那么你应该得到你想要的。对于 U(n) 的复数矩阵有 scipy.stats.unitary_group 具有相同/相似的实现