在Matlab中将（极限）积分表达式求解为数值

Question

我的表达式（最终求值后）结果是一个非常复杂的积分表达式。它涉及函数内函数的反函数。

我正在使用符号函数来解决这个问题。不幸的是我无法得到我需要的表达方式的答案。有人可以指导我吗？

以下是我的代码；

    dn=2;
    pfa = .1;
    dref = 1;

    syms x z
    lo_x_lim = erfinv(pfa-1)*sqrt(2);
    hi_x_lim = inf;

    lo_z_lim = 0
    hi_z_lim = dn

    %% Expression

    Q(x,z) = .5 +.5*erf(x/sqrt(2))
    Qinv_ = erfinv(Q - pfa/2) %Note that this need to be changed
    f_step_2 = (Qinv_ - x)/(1-z/dref)
    f_step_3 = Q(f_step_2,0)

    g(x,z) = 2*z/dn^2
    h(x,z) = exp(-x^2/2)

    %combining three equations to form one
    fin = f_step_3*g*h

    % Doing double integral wrt x and z in two steps
    %integrate wrt x
    int_x = int(fin,x,-0.2,hi_x_lim)

    %integrate wrt z

    int_z = int(int_x,z,lo_z_lim,hi_z_lim)

以下是我得到的最终答案。 （请注意，我需要浮点格式）

int_z =

int(int((z*exp(-x^2/2)*(erf((2^(1/2)*(x - erfinv(erf((2^(1/2)*x)/2)/2 + 9/20)))/(2*(z - 1)))/2 + 1/2))/2, x, -.2, Inf), z, 0, 2)

Answer 1

符号计算通常会努力保持尽可能准确的答案。对于定积分，这意味着引擎需要找到被积函数的反导数，然后在积分边界处对其进行评估。如果找不到反导数，引擎可能会抛出错误/警告，或者对于 Matlab Symbolic Toolbox 和其他一些引擎，“它只返回

int(f)

”。但是，您可以使用

int

强制

double

返回定积分的数值近似值。将最后一行更改为

int_z = double(int(int_x,z,lo_z_lim,hi_z_lim));

将产生数值近似值。然而，由于被积函数的复杂性，需要相当长的时间。正如我反复喜欢的肥皂剧一样，如果您正在搜索数字，您可能希望在末尾使用数字。考虑使用

integral2

:

的直接数值近似

fin_num   = matlabFunction(fin,'Vars',[x,z]);
int_z_num = integral2(fin_num,-0.2,hi_x_lim,lo_z_lim,hi_z_lim);

运行修改后的代码输出

int_z =
    0.6957
Elapsed time is 841.910756 seconds.
int_z_num =
    0.6957
Elapsed time is 0.219571 seconds.