我怎样才能最小化这个求和中的数值误差？

Question

我在以下代码示例中遇到数字错误：

#include <iostream>
#include <random>
#include <vector>

int main()
{
    std::random_device rd;
    std::mt19937 g{ rd() };
    std::uniform_real_distribution<> u;

    static std::size_t constexpr n = 1000;

    std::vector<double> q(n);
    std::generate_n(q.begin(), q.size(), [&]() { return u(g); });

    double average_of_q{};
    for (auto const& q : q)
        average_of_q += q;
    average_of_q /= n;

    std::vector<double> f(n);
    std::generate_n(f.begin(), n, [&]() { return u(g); });

    double sum1{};
    for (std::size_t i = 0; i < n; ++i)
        sum1 += std::abs(f[i] - q[i]);
    sum1 /= n;

    double sum2{};
    for (std::size_t i = 0; i < n; ++i)
        sum2 += std::abs(f[i] - q[i]) - q[i];
    sum2 = sum2 / n + average_of_q;

    std::cout << std::abs(sum1 - sum2) << std::endl;

    return 0;
}

输出是

1.11022e-16

，而我们理论上期望它应该是

0

。我怎样才能优化这段代码，使

std::abs(sum1 - sum2)

尽可能小？

为了激发这一点：在我的实际应用中，我已经知道

average_of_q

并且我不需要遍历每个

i

，因为我知道

std::abs(f[i] - q[i])

对于大多数

i

来说非常小，这是为什么我需要使用

sum2

.

的公式

编辑：我也在 MSE 上询问了这个问题的理论部分（但略有不同；我不想在这里让事情变得太复杂）：https://math.stackexchange.com/ q/4688917/47771.