物理知情神经网络：负解并且不收敛到正确的解。？

Question

我正在尝试创建一个 PINN 模型，用于以下：

这是自定义损失函数：

def customloss(y_t,y_p):  
  with tf.GradientTape(persistent=True) as g:
    with tf.GradientTape(persistent=True) as tape:
      op=model(ip)
    gradi=tape.batch_jacobian(op, ip)
  gradi2=g.batch_jacobian(gradi, ip)
  x=ip[:,0]
  y=ip[:,1]
  uxx=gradi2[:,0,0,0]
  uyy=gradi2[:,0,1,1]
  gradi
  l1=tf.reduce_mean((uxx+uyy+1)**2)
  l2=tf.reduce_mean((op[10000:11000])**2)
  return l1+l2

（我给出了输入数组的 10000:11000 作为边界上的点：l2 是边界条件上的损失）

这是网络：

model=Sequential()
model.add(Dense(10, input_shape=(2,), activation='relu'))
for i in range(3):
  model.add(Dense(50, activation='tanh'))
model.add(Dense(1))

我得到了这样的东西：

请注意，大多数解决方案在该字段上具有负值。

当我应该得到以下内容时：

这是为什么呢？是负解。一个有效的解决方案，以及如何找到正确的解决方案。？

我尝试过 8 层和 12 层、不同宽度的更深网络。这些似乎都没有帮助。

还尝试在损失函数中添加一些东西来惩罚负解，但它变得混乱，并且每次网络都会收敛到不同的解决方案。

Answer 1

我不认为batch_jacobian是你想要使用的函数。

这里是 TF2 上的 PDE 部分使用 eager 模型来帮助您的示例：

# loss function over the domain that computes the residuals
def lossDom(X,model):
    
    # 'recording' the operations 
    # to unroll the computational graph for gradient calculation
    with tf.GradientTape(persistent=True) as tape:
        x , y = tf.Variable(X[:,0]) , tf.Variable(X[:,1])
        
        # making predictions 
        u = model(tf.stack([x,y],axis=1))
        
        # first derivatives
        u_x = tape.gradient(u,x)
        u_y = tape.gradient(u,y)
    
        # second derivatives
        u_xx = tape.gradient(u_x,x)
        u_yy = tape.gradient(u_y,y)
    
    # values of source term
    fvals = f(X)
    return u_xx + u_yy - fvals  

X 表示大小为 (N,2) 的张量，包含有关 pde 的点。需要添加狄利克雷边界条件。有些会在偏微分方程损失中使用边界点。您可以尝试这两种方法，看看哪种方法效果最好。