用scipy Solve_bvp解决边界值问题（扩散反应方程）

Question

我正在努力解决以下二阶边值问题：

y'' + 2/x*y' + k**2.0*F(y) = 0

y(x=1)=1,  y'(x=0)=0

F(y) = -y or F(y) = -y*exp(AB*(1-y)/(1+B(1-y))

我以某种方式未能正确设置边界条件。我通过以下方式为F(y)=y和边界条件定义了函数：

def fun(x, y, p):
 k = p[0]
 return np.vstack((y[1], -2.0/x*y[1] + k**2.0*y[0]))

def bc(ya, yb, p):
     return np.array([ya[0], yb[0],ya[1]])

y[0,:] = 1
y[1,0] = 0
sol = solve_bvp(fun, bc, x, y, p=[40])

我应该得到的结果肯定是错误的，改变初始条件并不能使事情变得更好。我认为我的问题是与x = 0处的零梯度边界条件有什么关系。有人知道我在做什么错吗？

编辑：此处的MWE，对于k = 0.01，应给定常数1。但对于k = 5，x = 0处的值应约为1。 0.06：

def fun(x, y, p):
     k = p[0]
     return np.vstack((y[1], -2.0/x*y[1] + k**2.0*y[0]))

def bc(ya, yb, p):
     return np.array([ya[0], yb[0]-1.0,yb[1]])

x = np.linspace(1e-3, 1, 100)
y = np.zeros((2, x.size))
y[0,:] = 1

from scipy.integrate import solve_bvp
sol = solve_bvp(fun, bc, x, y, p=[1000])
x_plot = np.linspace(0, 1, 100)
y_plot = sol.sol(x_plot)[0]
plt.figure()
plt.plot(x_plot, y_plot)

Answer 1

考虑情况F(y)=y。这样就很容易看出该线性ODE的基本解是sin(k*x)/x和cos(kx/x)。这意味着大多数解在x=0处具有奇异性。对于标准ODE求解器来说，开箱即用几乎是不可能的。必须在奇异点上帮助求解器，在离奇异点一定距离处再次应用常规过程。

您可以做的是分析x=0处的情况，然后稍微走一下。您通过差异商的限制得到

y''(0) + 2*y''(0) + k^2*F(y(0)) = 0

允许您计算二次泰勒多项式。因此，使用到[a, 1]上奇点y(x)=y(0)-k**2/6*F(y(0))*x**2的延续，用ODE求解器解决[0,a]上的问题。

x=a的边界条件最容易建立，将y0=y(0)作为参数。那么ODE和BC函数是

def ode(x,y,y0): return [ y[1], -2*y[1]/x - k**2*F(y[0]) ]
def bc(ya,yb,y0): y2 = -k**2*F(y0)/6; return [ ya[0] - y0 - y2*a**2, ya[1] - 2*y2*a, yb[0]-1 ]

在问题中讨论的情况下，这给出

a = 1e-2
def F(y): return y

for k in [0.01, 5]:
    res = solve_bvp(ode, bc, [a,1], [[1,1], [0,0]], p=[1], tol=1e-5)
    print(f'k={k}: {res.message}, y0={res.p[0]}, theory: {k/np.sin(k)}')
    if res.success:
        y0 = res.p[0]
        x = np.linspace(a,1,61);
        plt.plot(x, res.sol(x)[0])
        plt.plot([0], [y0],'o', res.x, res.y[0],'+', ms=4)
        plt.title(f'k={k}'); plt.grid(); plt.show()

结果

k = 0.01：算法收敛到所需的精度。，y0 = 1.00001666686111，理论值：1.0000166668611132

k = 5：该算法收敛到所需的精度。，y0 = -5.214175394024083，理论值：-5.214176063857029