如何用数值方法逼近积分解

Question

我有以下积分（更多细节：https://math.stackexchange.com/questions/3193669/how-to-evaluate-the-line-integral-checking-stokes-theorem）

C_3可以用三角函数进行评估。然后你可以通过以下方式解决：

import sympy as sp
t = sp.symbols('t')
sp.Integral((1-sp.cos(t)-sp.sin(t))**2 * sp.exp(1-sp.cos(t)-sp.sin(t)) * (sp.sin(t)-sp.cos(t)), (t, 0, 2*sp.pi))

问题是C_1和C_2。这些不能用技巧来评估。然后，我必须使用数值方法。

你有什么建议？我一直在尝试与N()，但一无所获。

谢谢。

Answer 1

你可以使用scipy.integrate.quad函数：

from scipy.integrate import quad
from numpy import cos, sin, exp, pi

f1 = lambda t: (1 + sin(t))*exp(1+cos(t))*(-sin(t))
f2 = lambda t: ((1 + cos(t))**2 + exp(1+cos(t)))*cos(t)

C1, err1 = quad(f1, 0, 2*pi)
C2, err2 = quad(f2, 0, 2*pi)

print("C1 = ", C1, ", estimated error: ", err1)
print("C2 = ", C2, ", estimated error: ", err2)

输出：

C1 =  -9.652617083240306, estimated error:  2.549444932020608e-09
C2 =  15.93580239041989, estimated error:  3.4140955340600243e-10

编辑：您还可以通过参数指定精度：epsrel：相对误差，epsabs：绝对误差。但这有点棘手（参见this）：我们指定绝对误差目标为零。无法满足此条件，因此相对错误目标将确定何时积分停止。

C1, err1 = quad(f1, 0, 2*pi, epsrel=1e-10, epsabs=0)
print("C1 = ", C1, ", estimated error: ", err1)

输出：

C1 =  -9.652617083240308 , estimated error:  1.4186554373311127e-13

Answer 2

替代方案：使用quadpy（我的项目）：

import quadpy
from numpy import cos, sin, exp, pi

c1, err1 = quadpy.line_segment.integrate_adaptive(
    lambda t: (1 + sin(t)) * exp(1 + cos(t)) * (-sin(t)),
    [0.0, 2 * pi],
    1.0e-10
)

c2, err2 = quadpy.line_segment.integrate_adaptive(
    lambda t: ((1 + cos(t))**2 + exp(1+cos(t)))*cos(t),
    [0.0, 2 * pi],
    1.0e-10
)

print("C1 = ", c1, ", estimated error: ", err1)
print("C2 = ", c2, ", estimated error: ", err2)

C1 =  -9.652617082755405 , estimated error:  2.0513709554864616e-11
C2 =  15.935802389560804 , estimated error:  6.646538563488704e-11