我正在编写一些涉及查找给定矩阵的特征向量的代码，并且很惊讶Ruby在简单的情况下会产生一些不合理的结果。
例如，以下矩阵具有与特征值1相关联的特征向量：
> m = Matrix[[0r, 1/2r, 1/2r, 1/3r],
[0r, 0r, 1/4r, 1/3r],
[0r, 1/4r, 0r, 1/3r],
[1r, 1/4r, 1/4r, 0r]]
Ruby发现特征值足够好，但特征向量爆炸：
> m.eigen.eigenvalues[2]
=> 1.0000000000000009
m.eigen.eigenvectors[2]
=> Vector[5.957702309312754e+15, 5.957702309312748e+15, 5.957702309312743e+15, 5.957702309312753e+15]
实际的特征向量应为（7,4,4,9）。
这不是麻烦吗？如果Ruby无法处理微小的矩阵，那么我们怎么能相信呢？或者我做错了什么？
不，这不是麻烦。该矩阵可能对该特定的特征向量算法实现不起作用。毕竟，Efficient and stable general eigenvector computation is nontrivial。
Matrix库改编自JAMA, a Java matrix package，它说它有numerical computation而不是symbolic computation：
不包括。 JAMA绝不是一个完整的线性代数环境......它侧重于数值线性代数所需的原理数学功能
查看Matrix::EigenvalueDecomposition的源代码，我发现它命名为QR algorithm的用法。我不完全理解数学的复杂性，但我想我可能理解为什么这个计算失败了。计算机制如前所述：
在第k步（从k = 0开始），我们计算QR分解Ak = QkRk ...在某些条件下，[4]矩阵Ak收敛到三角矩阵，Schur形式为A.特征值在对角线上列出三角矩阵，求解特征值问题。
在“伪”Ruby中，这在概念上意味着：
working_matrix = orig_matrix.dup
all_q_matrices = []
loop do
q, r = working_matrix.qr_decomposition
all_q_matrices << q
next_matrix = r * q
break if difference_between(working_matrix, next_matrix) < accuracy_threshold
end
eigenvalues = working_matrix.diagonal_values
对于特征向量，它继续：
在收敛时，AQ =QΛ，其中Λ是A收敛的特征值的对角矩阵，并且其中Q是到达那里所需的所有正交相似变换的合成。因此，Q列是特征向量。
在“伪”Ruby中，继续：
eigenvectors = all_q_matrices.inject(:*).columns
我们可以看到，数值计算的迭代被用来计算近似的特征值，并且作为副作用，收集了一堆近似的Q矩阵。然后，这些近似的Q矩阵组合在一起形成特征向量。
近似的复合可能导致非常不准确的结果。 Math StackExchange上的灾难性取消示例显示了simple quadratic computation with 400% relative error。您可能会想象具有重复算术运算的迭代矩阵算法如何能够做得更糟。
一粒盐
同样，我对算法的数学和实现没有深刻的理解，所以我不知道计算的哪些部分导致了你的具体85110032990182200％错误，但我希望你现在能够理解它是如何产生的发生了。