斐波那契堆问题

Question

1.在斐波那契堆中，是否可以创建一棵任意大高度 k 的树，其中所有非叶节点都只有一个子节点？您必须简要描述如何生成这样的树（列出一些部分操作序列），或者证明 k 足够大是不可能的。

2. 在斐波那契堆中，当减少操作第二次尝试标记节点时，它会剪切该节点并标记其父节点。假设我们更改规则，仅在减少操作第三次尝试标记节点时才切割该节点。 （换句话说，一个节点可以被标记两次而不会被切割。）画出根度为 5 的最小树的结构。简要解释为什么不可能有更小的根度为 5 的树。

斐波那契堆中的树总是在高度等于另一棵树时需要合并？

1.如果分别插入5个节点，则可能产生1度=2的4节点树和单节点树。单节点还是叶子节点吗？ 2. Degree=5最小的树有13个节点，它是通过合并2 Degree=4树生成的，但我不知道为什么合并它们后，我仍然需要剪切一些节点。我如何选择节点？

Answer 1

1.任意大高度的树：

在斐波那契堆中，确实可以创建一棵任意大高度（ k ）的树，其中所有非叶节点都只有一个子节点。这可以通过重复执行以下操作序列来实现：

1. 插入： 将新节点插入斐波那契堆中。
2. 减少Key：减少新插入节点的key，使其等于堆中最小节点的key。

重复这些操作以创建一个节点链，其中每个节点只有一个子节点，并且树的高度随着每次迭代而增加。

2.标记修改：

如果我们修改规则，仅当减少操作第三次尝试标记节点时才切割节点，则根度为 5 的最小树的结构将如下所示：

      o
    / | \
   o  o  o  o  o

在这个修改后的规则中，一个节点可以被标记两次而不会被剪切，从而允许这种结构。不可能存在根度为 5 的更小的树，因为需要在第三个标记之后切割该节点。在根度为 5 的树中，如果一个节点被标记两次，那么第三次标记它就需要切割它，从而得到一棵更小的树。

3.合并和切割：

在斐波那契堆中，当两棵相同高度的树合并时，就会产生合并的需要，并且在减键操作过程中可能会触发级联切割。

1. 最小的5度树：

   • 合并两棵 4 度树时，所得树的根为 5 度。
   • 合并后，可能需要剪切某些节点，尤其是在合并之前标记过的节点。

2. 合并后切割节点：

   • 合并后切割节点对于维护斐波那契堆属性是必要的。
   • 如果其父节点已被标记，则节点将被剪切，并且级联剪切过程可能会继续，直到遇到未标记的父节点。

4.单节点树和五度树：

1. 单节点树：

   • 在斐波那契堆中，单个节点被视为一棵树。
   • 从技术上讲，它可以被视为一棵退化树，其中节点本身既是根又是叶子。

2. 5 度最小树（13 个节点）：

   • 可以通过合并两棵 4 度树来创建具有 13 个节点的 5 度根的最小树。
   • 合并后，根据标记规则，可能需要切割部分节点。

   切割过程涉及分离标记的节点并将它们提升到根级别，直到找到未标记的父节点。

综上所述，在斐波那契堆中合并树时，必须进行切割操作来保持堆属性，具体切割的节点由级联切割过程和标记规则决定。