SymPy 中矩阵的逆？

Question

我想知道如何创建一个矩阵并使用 Python 中的 SymPy 计算其逆矩阵？

例如，对于这个符号矩阵：

Answer 1

如果你的问题是：如何在 sympy 中计算矩阵 M 的逆矩阵：

M_inverse = M.inv()

至于如何创建矩阵：

M = Matrix(2,3, [1,2,3,4,5,6])

将为您提供以下 2X3 矩阵：

1 2 3

4 5 6

参见：http://docs.sympy.org/0.7.2/modules/matrices/matrices.html

Answer 2

这是我们如何计算 symbolic 矩阵的逆矩阵的示例（从问题中获取）：

import sympy as sym


# Not necessary but gives nice-looking latex output
# More info at: http://docs.sympy.org/latest/tutorial/printing.html
sym.init_printing()

sx, sy, rho = sym.symbols('sigma_x sigma_y rho')
matrix = sym.Matrix([[sx ** 2, rho * sx * sy], 
                     [rho * sx * sy, sy ** 2]])

现在打印逆

matrix.inv()

将给出：

可以进一步简化，如

sym.simplify(matrix.inv())

：

Answer 3

可用的 sympy 方法对于符号矩阵来说非常慢。 输入操作速度更快。我在这篇论文中以“部分反转”的名称找到了它：doi.org/10.1088/1402-4896/ad298a.

这是维度为 (2,2) 和 (3,3) 的符号矩阵的代码和时间性能图。 （.inv() 方法无法为我完成更高维度的编译，而“部分反转”则相当快地完成这项工作。）

from sympy import Matrix, Symbol, simplify

def sp_partial_inversion(m, *cells):
    ''' Partial inversion algorithm.
    ARGUMENTS
        m <sympy.Matrix> : symbolic matrix
        *cells <tuple>   : 2-tuples with matrix indices to perform partial inversion on.
    RETURNS
        <sympy.Matrix>   : matrix m partially-inverted at indices *cells
    '''
    # Partial inversion algorithm
    M = m.copy()
    for cell in cells:
        i,k = cell
        z = M[i,k]
        newmat = []
        for r in range(m.shape[0]):
            newrow = []
            for c in range(m.shape[1]):
                if i == r:
                    if k == c:  # Pivot cell
                        newrow.append( 1/z )
                    else:       # Pivot row
                        newrow.append( -M[r,c]/z )
                else:
                    if k == c:  # Pivot col
                        newrow.append( M[r,c]/z )
                    else:       # Elsewhere
                        newrow.append( M[r,c] - M[i,c]*M[r,k]/z )
            newmat.append(newrow)
        M =  Matrix(newmat)
    #
    return M

def SymbolicMatrix(n):
    "Generates symbolic matrix for tests"
    return Matrix( [ Symbol( f'm_{i}' ) for i in range(n**2) ] ).reshape(n,n)

def FullInversion(m):
    "Full matrix inversion is partial inversion at all i==j."
    cells = [(i,i) for i in range(m.shape[0])]
    return sp_partial_inversion(m, *cells)

# Test 1 --- Z should be matrix of zeros
M = SymbolicMatrix(3)
#Z = simplify( FullInversion(M) - M.inv() )

# Test 2 ---
M = SymbolicMatrix(4)
M_ = simplify( FullInversion(M) )
M_

检查绘图：

.

.

它也可以用于数值矩阵，但在我的测试中它并不比 numpy 的默认矩阵求逆更快。