3D中共面点的面积-Python

Question

我在坐标（x，y，z）的3D中获得了一组共平面点，以及它们所属的平面P的方程。我想知道如何使用Python获取窗格上这些点所占据的区域。我已经在3d中尝试过Convhull，但由于我的所有点确实是共面的，因此出现错误。你有什么主意吗？

谢谢！

Answer 1

首先，我试图通过创建一些随机的共面点并尝试拟合凸包来重现您的问题：

import numpy as np
from scipy.spatial import ConvexHull

# 4 random 3D points
points = np.random.rand(4, 3)
# A set of coplanar points where their third dimension is 1.
coplanar = np.array([np.array([x[0], x[1], 1.0]) for x in points])

hull = ConvexHull(coplanar)

这确实会产生错误：

Traceback (most recent call last):
  File "main.py", line 9, in <module>
    hull = ConvexHull(coplanar)
  File "qhull.pyx", line 2428, in scipy.spatial.qhull.ConvexHull.__init__
  File "qhull.pyx", line 357, in scipy.spatial.qhull._Qhull.__init__
scipy.spatial.qhull.QhullError: QH6154 Qhull precision error: Initial simplex is flat (facet 1 is cop
lanar with the interior point)

..... OMITTING SOME LINES ....

If the input is lower dimensional:
  - use 'QJ' to joggle the input and make it full dimensional
  - use 'Qbk:0Bk:0' to delete coordinate k from the input.  You should
    pick the coordinate with the least range.  The hull will have the
    correct topology.
  - determine the flat containing the points, rotate the points
    into a coordinate plane, and delete the other coordinates.
  - add one or more points to make the input full dimensional.

我们可以看到，底层库（qhull）为我们提供了一些建议，以防您的数据是低维的。如您所说，您已经知道您的数据是共面的，可以将其投影到平面中并由2D点表示。

根据错误消息的建议，投影数据的另一种方法是使用选项QJ来微动输入（option doc）。如果我正确理解的话，这种“微动”会在数据中引入随机噪声，从而使数据“非共面”，从而使优化得以进行。

hull = ConvexHull(coplanar, qhull_options="QJ")
hull.area
> 0.3100618849870332

摘要：

• 确定平面与单位xy平面之间的角度，如果需要精确的答案，请旋转数据
• 如果需要快速解决方案且精度高不是问题（请使用选项"QJ"（实际上我不知道答案与事实有多远）]

更新

来自Qhull FAQ：

[面积是凸包表面的面积，而体积是凸包的总体积。

在二维图中，凸包是多边形。它的表面是多边形的边缘。因此，在二维中，“面积”是多边形边缘的长度，而“体积”是多边形的面积。

根据这些陈述，我认为您应该使用：

• hull.area / 2用于3D点（您的原始点带有选项QJ）
• hull.volume用于2D点（如果旋转点并摆脱一维）

[为了帮助阐明ConvexHull的用法，我使用了一个简单的示例

square2D = np.array([
    [0.0, 0.0],
    [2.0, 0.0],
    [2.0, 2.0],
    [0.0, 2.0]
])
hull = ConvexHull(square2D)
hull.area
> 8.0
hull.volume
> 4.0

结果与文档一致。

现在，要了解选项QJ的效果，我在前面的几点上增加了一个维度：

coplanar = np.array([
    [0.0, 0.0, 0.0],
    [2.0, 0.0, 0.0],
    [2.0, 2.0, 0.0],
    [0.0, 2.0, 0.0]
])
hull = ConvexHull(coplanar, qhull_options="QJ")
hull.area
> 8.000000000306578
hull.volume
> 5.719619827513867e-11

对于最后一个示例，我将凸包想象为具有两个大平面的近似“平坦”的3D对象（由于引入的噪声）。这就是为什么我认为您可以在这种情况下使用hull.area / 2的原因。