求解ODEs算法的有限差分法

Question

我正在尝试为有限差分法设计算法，但我有点困惑。所讨论的ODE是y'' - 5y'+ 10y = 10x，y（0）= 0且y（1）= 100。所以我需要一种方法以某种方式获得将从关系中乘以“y_i”的系数：

然后将得到的系数存储到矩阵中，矩阵将是我将通过Gauss-Jordan求解的系统的矩阵。问题归结为如何获得这些系数并将它们移动到矩阵。我想过手工计算系数然后只输入矩阵，但是我需要为0.1,0.001和0.001的步长做这个，所以这里真的不是一个可行的选择。

Answer 1

让我们假设ODE的更一般情况

c1 * y''(x) + c2 * y'(x) + c3 * y(x) + c4 * x = 0

与边界条件

y(0) = lo
y(1) = hi

并且你想为x ∈ [0, 1]解决这个问题，步长为h = 1 / n（其中n + 1是样本数）。我们想要解决yi = y(h * i)。 yi的范围从i ∈ [0, n]。为此，我们想要解决一个线性系统

A y = b

每个内部yi将强加一个线性约束。因此，我们在n - 1和A列中有n - 1行，对应于未知的yi。

要设置A和b，我们可以简单地在我们未知的yi上滑动一个窗口（我假设从零开始索引）。

A = 0  //the zero matrix
b = 0  //the zero vector
for i from 1 to n - 1
    //we are going to create the constraint for yi and store it in row i-1

    //coefficient for yi+1
    coeff = c1 / h^2 + c2 / h
    if i + 1 < n
        A(i - 1, i) = coeff
    else
        b(i - 1) -= coeff * hi  //we already know yi+1

    //coefficient for yi
    coeff = -2 * c1 / h^2 - c2 / h + c3
    A(i - 1, i - 1) = coeff

    //coefficient for yi-1
    coeff = c1 / h^2
    if i - 1 > 0
        A(i - 1, i - 2) = coeff
    else
        b(i - 1) -= coeff * lo  //we already know yi-1

    //coefficient for x
    b(i - 1) -= c4 * i * h
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