泰勒级数来计算余弦（得到余弦（90）的输出-0.000）

Question

我为泰勒级数编写了以下函数以计算余弦。

double cosine(int x) {
    x %= 360; // make it less than 360
    double rad = x * (PI / 180);
    double cos = 0;

    int n;

    for(n = 0; n < TERMS; n++) { 
        cos += pow(-1, n) * pow(rad, 2 * n) / fact(2 * n);
    }
    return cos;
}

我的问题是，当我输入90时，我得到的答案是-0.000000。 （为什么我得到-0.000而不是0.000？）

有人可以解释为什么以及如何解决这个问题吗？我认为这是由于double的精度所致。这是main（）：

int main(void){
int y;
//scanf("%d",&y);
y=90;
printf("sine(%d)= %lf\n",y, sine(y));
printf("cosine(%d)= %lf\n",y, cosine(y));

return 0;
}

Answer 1

完全希望您无法获得带有浮点的anything的余弦的精确零输出，而不管您的计算方法有多好。这是浮点如何工作的基础。

余弦的数学零为pi / 2的奇数倍。由于pi是非理性的，因此无法完全表示为double（或任何浮点形式），并且可表示的最接近的相邻值之间的差至少为pi / 2倍DBL_EPSILON，大约为3e-16（或其他浮点类型的相应值）。对于pi / 2的奇数倍，您可能会“很幸运”并发现它确实非常接近两个邻居之一，但是平均而言，您会发现它大约1e-16。因此，您的输入是1e-16左右已经错误。

现在，余弦在其零处具有斜率+1或-1，因此输出中的误差将与输入中的误差大致成比例。但是要获得精确的零，您需要的误差应小于可表示的最小非零双精度数，即2e-308左右。这比输入错误小了近300个数量级。

虽然您在理论上可以“幸运”，并且如果pi / 2确实非常接近最接近的可表示倍数，则有一些倍数，但将其建模为随机数的可能性从天文学角度来看很小。我相信甚至有证据表明，存在[[no double x，其中cos(x)的正确舍入值为正好为零。对于单精度（float），可以通过蛮力很容易地确定；对于double可能也是可行的，但是需要大量的计算。

关于printf为什么打印-0.000000的原因，仅是%f的默认值是小数点后6位，这远远不能看到第一个有效数字。使用%e或%g，还可以选择使用一个较大的精度修饰符，它将为您显示所获得结果的近似值，该结果实际上仍具有一定的意义，并让您知道结果是否良好。