Runge-Kutta四阶方法求解二阶ODES

Question

我试图做一个谐振子的简单例子，它将由Runge-Kutta四阶方法解决。要求解的二阶常微分方程（ODE）和初始条件为：

y''+ y = 0

y（0）= 0且y'（0）= 1 / pi

范围介于0和1之间，共有100个步骤。我使用u作为辅助变量将我的二阶ODE分成两个一阶ODE：

你'=你

你'= -y

解析解是正弦y（x）=（1 / pi）^ 2 sin（pi * x）。

我的Python代码如下：

from math import pi
from numpy import arange
from matplotlib.pyplot import plot, show

# y' = u
# u' = -y

def F(y, u, x):
    return -y

a = 0
b = 1.0
N =100
h = (b-a)/N

xpoints = arange(a,b,h)
ypoints = []
upoints = []

y = 0.0
u = 1./pi 

for x in xpoints:
    ypoints.append(y)
    upoints.append(u)

    m1 = h*u
    k1 = h*F(y, u, x)  #(x, v, t)

    m2 = h*(u + 0.5*k1)
    k2 = h*F(y+0.5*m1, u+0.5*k1, x+0.5*h)

    m3 = h*(u + 0.5*k2)
    k3 = h*F(y+0.5*m2, u+0.5*k2, x+0.5*h)

    m4 = h*(u + k3)
    k4 = h*F(y+m3, u+k3, x+h)

    y += (m1 + 2*m2 + 2*m3 + m4)/6
    u += (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6

plot(xpoints, ypoints)
show()

所有代码都按照LutzL的建议进行了修正。见下面的评论。

代码正在运行，但我的数值解决方案与分析解决方案不匹配。我制作了一个显示以下两种解决方案的图表。我在互联网上将我的脚本与其他代码（https://math.stackexchange.com/questions/721076/help-with-using-the-runge-kutta-4th-order-method-on-a-system-of-2-first-order-od）进行了比较，但我看不出错误。在链接中，有两个代码，一个是Matlab，另一个是Fortran。即便如此，我也找不到自己的错误。谁能帮我？

Answer 1

我的代码是正确的。分析解决方案是错误的。正确的分析答案是

sin(x)/pi

正如LutzL指出的那样。下面，我们可以看到分析和数值解决方案。限制是从a = 0到b = 6.5。