找到两条（切线）线与封闭圆相交的位置

Question

我有两个同心圆和两条从外圆上的（单个）点出发的切线。我想确定切线的延伸与外圆相交的位置。如果重要的话，这是用 JS 编写的，在画布上绘图。

我知道 A、R、r、Tb、Tc 的坐标和/或值，[当然还有圆心，我们可以假设它位于 (0, 0)]。我需要找到“B”和“C”的坐标。

欢迎任何帮助/建议。

Answer 1

首先找到切点

T

（

TB

和

TC

）。到切点的小圆半径矢量垂直于切线，因此这些矢量的标量积为零。向量的长度为

r

，所以我们有方程组：

Tx*(Tx-Ax)+Ty*(Ty-Ay)=0       [1]
Tx^2+Ty^2 = r^2               [2]

对其进行变换，我们得到未知

Tx

坐标

的二次方程

Tx^2-Tx*Ax+Ty^2-TyAy=0
r*r = Tx*Ax+TyAy
Ty = (r^2 - Tx*Ax) / Ay            [3]
Tx^2*Ay^2+(r^2 - Tx*Ax)^2 = r^2*Ay^2

Tx^2*(Ay^2+Ax^2) + Tx*(-2*r^2*Ax) + (r^4-r^2*Ay^2) = 0

解决这个问题，我们得到两个（一般情况下）坐标

TBx, TCx

的解，然后如果

Ay!=0

则从 [3] 计算 Y 坐标，否则从 [2] 计算 Y 坐标。

A-B

向量只是

A-TB

向量的两倍，所以

Bx = Ax + 2*(TBx-Ax) = 2*TBx - Ax
By = Ay + 2*(TCy-Ay) = 2*TBy - Ay

与

C

点

类似