用非常小的数字计算反正切

Question

我需要非常精确地计算反正切值。有问题的等式是

-atanh(1/ (1 + 10**-x))

其中

x

应该是 240 的量级并返回 -276.65 的近似值。

我尝试了 python 提供的一些库，例如 numpy、math 和 mpmath，但是，我可以使用的最大“x”值是 17。对于大于 17 的“x”，我得到 -inf。

Answer 1

所有你需要的都在https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions.

你有

tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)

但是

coth(x) = cosh(x)/sinh(x)

。所以代替

artanh(1/(1+ε))

你可以写

arcoth(1+ε)

.

然后你可以用对数表示。在维基百科上，您可以找到

arcoth(x) = ½ ln((x+1)/(x-1))

。所以

arcoth(1+ε)

变成

½ ln((2+ε)/ε)

.

这是你可以输入 Python 的东西。记住你在整个表达式前面有一个负号，你可以把它写成

eps = 10**(-x)  # e.g. eps = 1e-240
res = -0.5 * math.log((2 + eps)/eps)

如果 eps 和你说的一样小，分子将四舍五入为

2

但分母应该有足够的精度来使整个事情正常进行。它适用于您的示例：我得到了

-276.6567847495655

，其中正确的结果更像是

-276.65678474956545473686759

（使用

RealIntervalField(1024)

在 Sage 中计算以获得数字错误的保证）所以我们从双精度算术得到的所有数字是非常正确。