Scipy：牛顿方法的数值导数比正割方法更快

Question

我正在尝试使用SciPy（scipy.optimize.newton）提供的Newton-Raphson找到方程的根。

目前我没有文档建议使用的fprime值，据我所知，这意味着正在使用Secant方法来查找根。

由于Newton-Raphson方法比Secant方法具有更快的收敛性，我的直觉认为我应该数字地近似fprime并提供它以便使用牛顿方法。

哪一个通常会导致更快的收敛/更快的实际计算我的根？

1. 只使用scipy.optimize.newton而不提供fprime（即正割方法，或
2. 使用数值微分来计算fprime（例如使用numpy.diff）并将其提供给scipy.optimize.newton，以便使用Newton-Raphson方法。

Answer 1

第365页的“数字配方”一书中的“使用微分的9.4 Newton-Raphson方法”一节中指出：

Newton-Raphson公式也可以使用数值差来逼近真实的局部导数，

f'（x）≈（f（x + dx） - f（x））/ dx。

但是，这不是推荐的过程，原因如下：（i）您每步执行两次函数求值，因此最好超线性收敛阶数仅为sqrt（2）。 （ii）如果你把dx太小，你将被舍入所消除，而如果你把它太大，你的收敛顺序将只是线性的，并不比使用初始评估f'（x_0）用于所有后续步骤更好。因此，具有数值导数的Newton-Raphson（在一个维度上）总是由9.2节的割线方法支配。

（这是为了适应这个网站的限制而编辑的。）选择另一种方法来提高数字导数的准确性会增加函数评估的数量，从而进一步降低收敛的顺序。因此，您应该选择第一种方法，最后使用割线方法查找根。