使用 sympy 的 Luce 规则

Question

我想使用 Luce 公理 计算二元决策的概率。相似度函数使用指数定义如下；

sA = b+exp(-|x-xA|)
sB = b+exp(-|x-xB|)
pA = 1/(1+(sB/sA))

为了获得损失，我们需要在各自的范围内对 x 上的 pA 和 1-pA 进行积分。

loss = integrate(pA, (x,0,0.5)) + integrate(1-pA, (x,0.5,1))

当使用 sympy 编写时，当 b=0 (0.5075) 时我得到损失，但当 b>0 时出现以下错误；

提高 PolynomialDivisionFailed(f, g, K) sympy.polys.polyerrors.PolynomialDivisionFailed：除法时无法减少多项式>除法算法的次数 [-0.426881219248826*_z + 0.0106631460069606] 由 [_z - 0.0249791874803424]。当无法消除时，就会发生这种情况 在系数域中检测零。计算域是RR(_z)。零检测>在此系数中得到保证 nt 域。这可能表明 SymPy 中存在错误，或者域是用户定义的并且未正确实现零检测。

我不确定这个错误意味着什么。

python代码为（错误不依赖于具体的xA和xB）；

from sympy import *

var('x')
xA = 0.8
xB = 0.9
#this works
b = 0
sA = b+exp(-abs(x-xA))
sB = b+exp(-abs(x-xB))
pA = 1/(1+(sB/sA))
print pA
loss = integrate(pA, (x,0,0.5)) + integrate(1-pA, (x,0.5,1))
print loss.evalf()
#this doesn't
b = 1
sA = b+exp(-abs(x-xA))
sB = b+exp(-abs(x-xB))
pA = 1/(1+(sB/sA))
print pA
loss = integrate(pA, (x,0,0.5)) + integrate(1-pA, (x,0.5,1)) #fails here
print loss.evalf()

请注意，工作部分需要几分钟才能计算，有什么方法可以加快速度吗？

Answer 1

当您实际计算积分时，您将

pA

积分到第二个积分中。 在描述中你说它应该是

1 - pA

，所以我假设这就是你想要的。

积分不计算的事实似乎是 SymPy 中的一个错误。 这是在我的机器上有效的修改。

import sympy as sy
x = sy.symbols('x')
b = 1
sA = b + sy.exp(- sy.Abs(x - xA))
sB = b + sy.exp(- sy.Abs(x - xB))
pA = 1 / (1 + (sB / sA))
sy.N(sy.Integral(pA, (x, 0, 0.5)) + sy.Integral(1 - pA, (x, 0.5, 1)))

不幸的是，这仍然非常慢。 由于我定期安装 sympy 的开发版本，因此它有效以及花费很长时间的事实可能是我的安装的特质。

我真的建议使用某种形式的数值积分，除非您特别需要符号表达式。 给定与上面相同的初始化和导入（但不是积分），可以这样完成：

from sympy.mpmath import quad
# Make the expression into a callable function.
pA_func = sy.lambdify([x], pA)
quad(pA_func, [0, .5]) + quad(lambda x: 1 - pA_func(x), [.5, 1])

SciPy 也有一些集成例程。 以下是上述两行的替代方案。

from scipy.integrate import quad
# Make the expression into a callable function.
pA_func = sy.lambdify([x], pA)
quad(pA_func, 0, .5)[0] + quad(lambda x: 1 - pA_func(x), .5, 1)[0]

希望这有帮助！