Sudoku拼图，带有包含正方形的盒子

Question

[两天前，我遇到了一个数独问题，尝试使用Python 3解决。我已获悉确实存在一个解决方案，但不确定是否存在多个解决方案。

问题如下：数独的9x9网格完全为空。但是，它确实包含colored boxes，并且在这些框中，数字的总和必须为square number。除此之外，适用普通sudoku rules。

这里的问题是not解决数独难题，而是生成一个可行的难题，满足colored boxes的规则。

我的策略

使用numpy数组，我将网格划分为81个索引，可以将其重新排列为9x9网格。

import numpy as np
print(np.array([i for i in range(81)]).reshape((9, 9)))

->
[[ 0  1  2  3  4  5  6  7  8]
 [ 9 10 11 12 13 14 15 16 17]
 [18 19 20 21 22 23 24 25 26]
 [27 28 29 30 31 32 33 34 35]
 [36 37 38 39 40 41 42 43 44]
 [45 46 47 48 49 50 51 52 53]
 [54 55 56 57 58 59 60 61 62]
 [63 64 65 66 67 68 69 70 71]
 [72 73 74 75 76 77 78 79 80]]

这里是包含所有索引块的列表。

boxes = [[44, 43, 42, 53],[46, 47, 38],[61, 60],[69, 70],[71, 62],
         [0, 9, 18],[1, 10, 11, 20],[2, 3, 12],[4, 13, 14],[5, 6],
         [7, 8],[17, 26, 35],[21, 22, 23],[15, 16, 24, 25, 34],
         [27, 36, 37],[19, 28, 29],[45, 54],[55, 56],[63, 64, 65],
         [72, 73, 74],[57, 66, 75 ],[58, 59, 67, 68],[76, 77],[78, 79, 80]]

如从picture或从上面的数组中看到的，这些盒子被排列成2、3、4或5（8个二进制，12个3个，3个四个，1个5r）的块。我还注意到，一个盒子可以包含多个数字而不会破坏数独的任何规则，但是一个数字只能是2个。根据这些信息，最大的平方可能是36，因为9 + 9 + 8 + 7 + 6 = 39，因此，一个块的总和不可能达到49。要找出列表的总和是否包含一个平方数，我已完成以下功能：

def isSquare(array):
    if np.sum(array) in [i**2 for i in range(1,7)]:
        return True
    else:
        return False

要查明列表中是否包含正确数量的重复项，即，多个重复项只有一个数字，我已完成以下功能：

def twice(array):
    counter = [0]*9
    for i in range(len(array)):
        counter[array[i]-1]+=1
        if 3 in counter:
            return False
    if counter.count(2)>1:
        return False
    return True

现在，给定数字1-9，如果列表必须求和成一个平方数，则解决列表的方法有限。使用itertools，我可以找到解决方案，将它们划分为一个数组，其中索引0包含二进制的块，索引1包含二进制的块，依此类推。]

from itertools combinations_with_replacement
solutions = []
for k in range(2, 6):
    solutions.append([list(i) for i in combinations_with_replacement(np.arange(1, 10), k) if 
    isSquare(i) and twice(i)])
但是，这些列表的任何排列都是解决“平方问题”的可行方法。再次使用itertools

，可能的盒子总数（无数独规则）总计为8782。

from itertools import permutations

def find_squares():
    solutions = []
    for k in range(2, 6):
        solutions.append([list(i) for i in combinations_with_replacement(np.arange(1, 10), k) if 
            isSquare(i) and twice(i)])
    s = []
    for item in solutions:
        d=[]
        for arr in item:
            for k in permutations(arr):
                d.append(list(k))
        s.append(d)
    return s # 4-dimensional array, max 2 of each

solutions = find_squares()

total = sum([len(i) for i in solutions])
print(total)
-> 8782
这应该足以实现确定木板是否合法的功能，也就是说，行，列和盒子仅包含1-9的每个数字。我的实现：

def legal_row(arr):
    for k in range(len(arr)):
        values = []
        for i in range(len(arr[k])):
            if (arr[k][i] != 0):
                if (arr[k][i] in values):
                    return False
                else:
                    values.append(arr[k][i])
    return True

def legal_column(arr):
    return legal_row(np.array(arr, dtype=int).T)


def legal_box(arr):
    return legal_row(arr.reshape(3,3,3,3).swapaxes(1,2).reshape(9,9))


def legal(arr):
    return (legal_row(arr) and legal_column(arr) and legal_box(arr))
运行时的困难

一种简单的方法是检查每个块的每个组合。我已经这样做了，并产生了一些可行的问题，但是我算法的复杂性使它花费了太长时间。

相反，我尝试将某些属性随机化：块的顺序和解决方案的顺序。使用此方法，我限制了尝试次数，并检查了解决方案是否可行：

attempts = 1000
correct = 0
possibleBoards = []
for i in range(1, attempts+1):
    board = np.zeros((9, 9), dtype=int)
    score = 0
    shapes = boxes
    np.random.shuffle(shapes)
    for block in shapes:
        new_board = board
        new_1d = board.reshape(81)
        all_sols = solutions[len(block)-2]
        np.random.shuffle(all_sols)
        for sols in all_sols:
            #print(len(sols))
            new_1d[block] = sols
            new_board = new_1d.reshape((9, 9))
            if legal(new_board):
                board = new_board
                score+=1
                break
    confirm = board.reshape(81)
    #solve(board) # Using my solve function, not important here
    # Note that without it, correct would always be 0 as the middle of the puzzle has no boxes
    confirm = board.reshape(81)
    if (i%1000==0 or i==1):
        print("Attempt",i)
    if 0 not in confirm:
        correct+=1
        print(correct)
        possibleBoards.append(board)
在上面的代码中，可变分数是指算法在尝试期间可以找到多少个块。正确的变量是指可以完成多少个数独板。如果您对它在700次尝试中的表现感兴趣，请参考stats（这是一个直方图，x轴表示得分，y轴表示在这700次尝试中每个得分有多少）。

我需要什么帮助

我正在努力寻找一种可行的方法来找到该问题的解决方案，该方法实际上可以在有限的时间内运行。我将不胜感激有关使我的某些代码更快或更佳的任何技巧，对问题采取不同方法的任何想法，对问题的任何解决方案，或与该问题相关的一些有关Python / Numpy的有用技巧。

两天前，我遇到了一个数独问题，我试图用Python 3解决。我被告知确实存在一个解决方案，但是我不确定是否存在多个解决方案。问题是...

Answer 1

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