如何在给定点的线段上绘制垂线？我的线段定义为（x1，y1），（x2，y2），如果我从点（x3，y3）绘制一个垂直线并且它在点（x4，y4）上遇到线。我想找出这个（x4，y4）。
我为你解决了方程式：
k = ((y2-y1) * (x3-x1) - (x2-x1) * (y3-y1)) / ((y2-y1)^2 + (x2-x1)^2)
x4 = x3 - k * (y2-y1)
y4 = y3 + k * (x2-x1)
其中^ 2表示平方
这大部分都与Arnkrishn的答案重复。我只想用完整的Mathematica代码片段完成他的部分：
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
eqn1 = y - y3 == -(1/m)*(x - x3)
eqn2 = y - y1 == m*(x - x1)
Solve[eqn1 && eqn2, {x, y}]
这是接受的答案的C＃实现。它也使用ArcGis返回MapPoint，因为我们正在为此项目使用它。
private MapPoint GenerateLinePoint(double startPointX, double startPointY, double endPointX, double endPointY, double pointX, double pointY)
{
double k = ((endPointY - startPointY) * (pointX - startPointX) - (endPointX - startPointX) * (pointY - startPointY)) / (Math.Pow(endPointY - startPointY, 2)
+ Math.Pow(endPointX - startPointX, 2));
double resultX = pointX - k * (endPointY - startPointY);
double resultY = pointY + k * (endPointX - startPointX);
return new MapPoint(resultX, resultY, 0, SpatialReferences.Wgs84);
}
这是一个矢量化的Matlab函数，用于在m线段上找到n点的成对投影。这里xp和yp是持有m by 1不同点坐标的m向量，x1，y1，x2和y2是n by 1向量，保持n不同线段的起点和终点的坐标。它返回m by n矩阵，x和y，其中x(i, j)和y(i, j)是i-th点投影到j-th线的坐标。
实际工作在前几行完成，函数的其余部分运行自测试演示，以防在没有参数的情况下调用它。它相对较快，我设法在不到0.05秒的时间内找到了2k点到2k线段的投影。
function [x, y] = projectPointLine(xp, yp, x1, y1, x2, y2)
if nargin > 0
xd = (x2-x1)';
yd = (y2-y1)';
dAB = xd.*xd + yd.*yd;
u = bsxfun(@rdivide, bsxfun(@times, bsxfun(@minus, xp, x1'), xd) + ...
bsxfun(@times, bsxfun(@minus, yp, y1'), yd), dAB);
x = bsxfun(@plus, x1', bsxfun(@times, u, xd));
y = bsxfun(@plus, y1', bsxfun(@times, u, yd));
else
nLine = 3;
nPoint = 2;
xp = rand(nPoint, 1) * 2 -1;
yp = rand(nPoint, 1) * 2 -1;
x1 = rand(nLine, 1) * 2 -1;
y1 = rand(nLine, 1) * 2 -1;
x2 = rand(nLine, 1) * 2 -1;
y2 = rand(nLine, 1) * 2 -1;
tic;
[x, y] = projectPointLine(xp, yp, x1, y1, x2, y2);
toc
close all;
plot([x1'; x2'], [y1'; y2'], '.-', 'linewidth', 2, 'markersize', 20);
axis equal;
hold on
C = lines(nPoint + nLine);
for i=1:nPoint
scatter(x(i, :), y(i, :), 100, C(i+nLine, :), 'x', 'linewidth', 2);
scatter(xp(i), yp(i), 100, C(i+nLine, :), 'x', 'linewidth', 2);
end
for i=1:nLine
scatter(x(:, i)', y(:, i)', 100, C(i, :), 'o', 'linewidth', 2);
end
end
end
来自wiki：
在代数中，对于任何线性方程y = mx + b，垂线都将具有（-1 / m）的斜率，与原始斜率的倒数相反。记住“找到垂直线的斜率，翻转分数并改变符号”的口号是有帮助的。回想一下，任何整数a本身都超过一个，可以写成（a / 1）
为了找到也通过特定点（x，y）的给定线的垂线，求解方程y =（ - 1 / m）x + b，用m，x和y的已知值代替求解对于b。
线的斜率m，通过（x1，y1）和（x2，y2）是m =（y1-y2）/（x1-x2）
我同意peter.murray.rust，矢量使解决方案更清晰：
// first convert line to normalized unit vector
double dx = x2 - x1;
double dy = y2 - y1;
double mag = sqrt(dx*dx + dy*dy);
dx /= mag;
dy /= mag;
// translate the point and get the dot product
double lambda = (dx * (x3 - x1)) + (dy * (y3 - y1));
x4 = (dx * lambda) + x1;
y4 = (dy * lambda) + y1;
您经常会发现使用矢量可以使解决方案更清晰......
这是我自己的库中的例程：
public class Line2 {
Real2 from;
Real2 to;
Vector2 vector;
Vector2 unitVector = null;
public Real2 getNearestPointOnLine(Real2 point) {
unitVector = to.subtract(from).getUnitVector();
Vector2 lp = new Vector2(point.subtract(this.from));
double lambda = unitVector.dotProduct(lp);
Real2 vv = unitVector.multiplyBy(lambda);
return from.plus(vv);
}
}
你必须实现Real2（一个点）和Vector2和dotProduct（），但这些应该很简单：
然后代码看起来像：
Point2 p1 = new Point2(x1, y1);
Point2 p2 = new Point2(x2, y2);
Point2 p3 = new Point2(x3, y3);
Line2 line = new Line2(p1, p2);
Point2 p4 = getNearestPointOnLine(p3);
该库（org.xmlcml.euclid）位于：http://sourceforge.net/projects/cml/
并且有单元测试将执行此方法并向您展示如何使用它。
@Test
public final void testGetNearestPointOnLine() {
Real2 p = l1112.getNearestPointOnLine(new Real2(0., 0.));
Real2Test.assertEquals("point", new Real2(0.4, -0.2), p, 0.0000001);
}
你知道点和斜率，所以新线的等式是：
y-y3=m*(x-x3)
由于线是垂直的，因此斜率是负倒数。你现在有两个方程式，可以求解它们的交集。
y-y3=-(1/m)*(x-x3)
y-y1=m*(x-x1)
计算连接点（x1，y1）和（x2，y2）的线的斜率为m=(y2-y1)/(x2-x1)
使用线斜率形式的线方程连接（x1，y1）和（x2，y2）的线的方程将是y-y2 = m(x-x2)
连接（x3，y3）和（x4，y4）的线的斜率将是-(1/m)
再次，使用线斜率形式的线方程连接（x3，y3）和（x4，y4）的线的方程将是y-y3 = -(1/m)(x-x3)
当您在两个变量中求解线性方程时，求解这两个线方程，得到的x和y的值将是你的（x4，y4）
我希望这有帮助。
干杯
找出这两条线的斜率，比如斜率是m1和m2，那么m1 * m2 = -1是垂直度的条件。
Matlab函数代码存在以下问题
function Pr=getSpPoint(Line,Point)
% getSpPoint(): find Perpendicular on a line segment from a given point
x1=Line(1,1);
y1=Line(1,2);
x2=Line(2,1);
y2=Line(2,1);
x3=Point(1,1);
y3=Point(1,2);
px = x2-x1;
py = y2-y1;
dAB = px*px + py*py;
u = ((x3 - x1) * px + (y3 - y1) * py) / dAB;
x = x1 + u * px;
y = y1 + u * py;
Pr=[x,y];
end
Mathematica在2014年第10版中引入了RegionNearest[]函数。此函数可用于返回此问题的答案：
{x4,y4} = RegionNearest[Line[{{x1,y1},{x2,y2}}],{x3,y3}]