使用给定的和和乘积查找几何级数中的前三项[关闭]

Question

我的目标是创建一个C++程序来计算几何序列的前三项。提供的是前三项及其乘法的总和。

假设答案必须是真实的。

我明白了

b = p¹ᐟ³

和

a² + (b-s)a + b² = 0

Answer 1

令

a

b

c

为实数，即几何级数的前三项。假设它们都不为 0。否则，“级数”是退化的。

令比率

r

为实数，即连续项之间的比率。因此，

r = b/a                                   (1)
r = c/b                                   (2)

求解

a

和

c

的方程 (1) 和 (2) 得出：

a = b/r                                   (3)
c = br                                    (4)

给定乘积

p

，方程（3）和（4）让我们直接找到

b

：

p = abc = (b/r)(b)(br)
p = bbb = b³
b = p¹ᐟ³                                  (5)

因此，

b

是乘积的立方根。

[注： 此答案中仅使用了两个小数指数：1/3 和 2/3。如果微小的 Unicode 指数难以阅读，您可能需要放大。]

将方程 (1) 设置为等于方程 (2)，可得出

c

的另一个方程：

b/a = c/b
bb = ac
b² = ac
c = b²/a
c = (p¹ᐟ³)²/a
c = p²ᐟ³/a                                (6)

转向总和

s

，我们有：

s = a + b + c
s = a + (p¹ᐟ³) + (p²ᐟ³/a)

两边同时乘以

a

，然后两边减去

as

，得到：

as = aa + a(p¹ᐟ³) + a(p²ᐟ³/a)
sa = a² + (p¹ᐟ³)a + p²ᐟ³
0 = a² + (p¹ᐟ³)a - sa + p²ᐟ³
0 = a² + (p¹ᐟ³-s)a + p²ᐟ³                 (7)

方程（7）可以通过熟悉的二次公式来求解。对于二次方程

0 = Ax² + Bx + C

，其中使用大写字母与上面的小写字母进行区分，我们可以将方程（7）映射如下：

• A

  是

  1

• B

  是

  p¹ᐟ³-s

• C

  是

  p²ᐟ³

• x

  是

  a

判别式，

B² - 4AC

，确定根的数量和类型。

• 正 — 有两个不同的实数根
• zero – 有一个实数根。这有时称为双根。
• 负 – 两个根是复共轭。

对于方程（7），我们有

B² = (p¹ᐟ³-s)²
B² = (p¹ᐟ³)² + 2(p¹ᐟ³)(-s) +(-s)²
B² = p²ᐟ³ - 2s(p¹ᐟ³) + s²

4AC = 4(1)(p²ᐟ³)
4AC = 4p²ᐟ³

B² - 4AC = p²ᐟ³ - 2s(p¹ᐟ³) + s² - 4p²ᐟ³
B² - 4AC = -3p²ᐟ³ - 2s(p¹ᐟ³) + s²
B² - 4AC = s² - 2(p¹ᐟ³)s - 3p²ᐟ³
B² - 4AC = (s + p¹ᐟ³)(s - 3p¹ᐟ³)          (8)
B² - 4AC = (s + b)(s - 3b)               (9)

等式（9）表明判别式在两种情况下消失：

1. s = -b

2. s = 3b

设计用于查找该问题的几何级数

a

、

b

和

c

的程序必须分析判别式，并相应地提出解决方案。

对于存在的实数解：

• 解方程(7)即可确定

  a

的值
• 方程（5）给出

  b

• 方程（6）给出

  c

方程（8）的因子很好地表明计算机计算中的舍入误差是否影响判别式的分析。如果任一因子“接近”零，则可能无法正确计算判别式的符号。此外，应值为 0 的判别式可以计算为某个“小”值，无论是正值还是负值。