两个向量对的四元数

Question

我有两个矢量对（旋转前后）。

旋转前：[x1，y1，z1] [x2，y2，z2]

旋转后：[x1'，y1'，z1'] [x2'，y2'，z2']

如何创建表示此轮换的四元数？

Answer 1

在大多数情况下，没有旋转将2个矢量转换成2个其他矢量。这是一种可视化原因的简单方法：旋转不会改变矢量之间的角度。如果旋转前2个矢量之间的角度与旋转后2个矢量之间的角度不同，则没有符合您标准的旋转。

这就是说可能存在一个具有可接受误差的最佳四元数，它几乎“旋转”你的2个矢量对。有许多算法在速度和精度上有所不同以找到这样的四元数。我为Arduino应用程序编写了一个快速C ++算法，其中速度很关键，但精度不那么重要。

http://robokitchen.tumblr.com/post/67060392720/finding-a-rotation-quaternion-from-two-pairs-of-vectors

旋转前：u0，v0。旋转后：u2，v2。

Quaternion q2 = Quaternion::fromTwoVectors(u0, u2);
Vector v1 = v2.rotate(q2.conjugate());
Vector v0_proj = v0.projectPlane(u0);
Vector v1_proj = v1.projectPlane(u0);
Quaternion q1 = Quaternion::fromTwoVectors(v0_proj, v1_proj);
return (q2 * q1).normalized();

如果这不符合您自己的应用程序的要求尝试google Wabha的问题。

Answer 2

那么，首先你可以使用向量乘法（交叉乘法）找到旋转轴：

axis = v1 x v2;

然后你可以计算旋转角度：

sinA = |axis| / |v1|*|v2|
cosA = v1 . v2 / |v1|*|v2|

这里| | - 是矢量长度操作，和。 - 是点乘法

最后，你的四元数是：

Q(w,x,y,z) = (cosA, axis.x * sinA, axis.y * sinA, axis.z * sinA)

Answer 3

我将marcv81非常有用的博客文章翻译成了Three.js：

const rotateVectorsSimultaneously = (u0, v0, u2, v2) => {
    const q2 = new THREE.Quaternion().setFromUnitVectors(u0, u2);

    const v1 = v2.clone().applyQuaternion(q2.clone().conjugate());

    const v0_proj = v0.projectOnPlane(u0);
    const v1_proj = v1.projectOnPlane(u0);

    let angleInPlane = v0_proj.angleTo(v1_proj);
    if (v1_proj.dot(new THREE.Vector3().crossVectors(u0, v0)) < 0) {
        angleInPlane *= -1;
    }
    const q1 = new THREE.Quaternion().setFromAxisAngle(u0, angleInPlane);

    const q = new THREE.Quaternion().multiplyQuaternions(q2, q1);
    return q;
};

因为angleTo总是返回一个正值，我手动翻转角度的符号，这取决于u0-v0平面v1的哪一侧。

Answer 4

这个问题的成熟解决方案叫做Triad。 Triad是航天器姿态确定问题的最早和最简单的解决方案之一，并且计算效率极高。

使用Triad时，我们的想法是用一组三个向量替换两个向量的成对集合，其中使用交叉积生成额外的向量。通过对矢量进行归一化，您可以求解没有矩阵逆或SVD的旋转矩阵（在更常见的问题实例中需要 - 参见Wahba的问题）

有关完整算法，请参阅：https://en.wikipedia.org/wiki/Triad_method

然后，您可以将已解决的旋转矩阵从Triad转换为旋转四元数：

qw = √(1 + m00 + m11 + m22) /2
qx = (m21 - m12)/( 4 *qw)
qy = (m02 - m20)/( 4 *qw)
qz = (m10 - m01)/( 4 *qw)

通常，为了使四元数转换为鲁棒性，您应该考虑查看矩阵迹线，如下所述：http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/matrixToQuaternion/

最后，考虑Triad的替代方案，直接计算称为QUEST的最佳四元数。