查找四元数，表示从一个向量到另一个向量的转换

Question

介绍。

以前，我有asked a question将rgb三元转换为四元数。在那个问题之后我设法得到了单位四元数，但我对它们的内部结构有疑问。没有简单的方法来操作它们，并分离亮度和色度，因为它是单位长度的四元数。根据我对它的感觉，亮度应该在实际部分或整个幅度中编码;并且颜色“色度”信息应该在虚部中编码。

今天我决定改进一下，采取另一种方法，与上面链接中的第一种方法不同。我认为它可能会成功，因为四元数不仅可以存储旋转（单位四元数），还可以存储比例。首先，我将首先解释我的下一个想法。我将在以下解释中使用GLSL着色器语法。

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方法描述和问题体。

对于图像的某些像素，让我们在单位立方体内得到一个三维矢量vec3 u，其中正坐标位于闭合范围[0.0,1.0]，并且代表完整的rgb颜色空间。因此，现在u的坐标，u.x，u.y和u.z将相应地表示该像素的红色，绿色和蓝色值。然后让我们采取纯白色矢量const vec3 v = vec3(1.0, 1.0, 1.0);。让我们定义一些四元数q，以便我们的矢量u是“v，旋转和缩放与四元数q”。简单来说，q必须回答“如何变换v，以便最初设想颜色u？”的问题。并让我们为“旋转和缩放”操作引入功能：vec3 q2c(in vec4 q, in vec3 v)。我将其称为“四元数到彩色”转换器。

写q2c(q, v)非常简单，just as defined：q2c(q, v) == (q*vec4(v, 0.0))*q'。这里，“*”运算符表示quaternion multiplication;让它成为一个功能vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2)。而“q'”表示q的conjugate，让它成为vec4 qconj(in vec4 q)。省略他们简单的实现（你可以在完整的源代码中找到），我们会得到经典代码：

vec4 q2c(in vec4 q, in vec3 v) {
    return qmul(qmul(q, vec4(v, 0.0)), qconj(q));
}

所以现在我们有q2c(q,v)函数，通过旋转和缩放一些选定的3D矢量q，将四元数v转换为颜色。

问题是如何找到四元数q？

从程序员的角度来看，目标是编写反向函数vec4 c2q(in vec3 u, in vec3 v) - 相应的“颜色到四元数”转换器。

请注意，你不应该触摸q2c()，没有一个很好的理由。例如，其逻辑中存在严重错误，导致“无法解决任务”，您可以证明这一点。

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如果你的答案是正确的，你怎么能检查？

实际上，检查方法可能源于这样一个事实，即如果你能够设法转换回来，你将得到初始值。因此检查条件是对于任何非零长度的v，u必须始终等于q2c(c2q(u, v), v)。 v必须具有非零长度，因为人们不能“缩小零”以获得“某事”。

为了方便起见，我使用shadertoy.com服务准备了testing program。

你需要一台体面的电脑，有互联网连接和支持webGL的网络浏览器（我正在使用Chrome）。程序应该适用于任何GPU，甚至嵌入到intel的处理器中。它甚至可以在我的低端智能手机上运行！

要测试你的答案，你应该把你提出的公式，用GLSL语法编写，在c2q()函数中。然后按应用按钮，您的更改将生效：

左侧的图像表示一些未改变的源像素。右半部分将包含由q2c(c2q())前后转换的像素。显然，一半必须在视觉上相等，你不应该注意到任何垂直线。可能会出现一些小的数学（不明显）错误，但这只是由于浮点的性质 - 它的有限精度和可能的舍入误差。

您可以随意编辑和试验，只在本地，在您的计算机上进行更改，并且您不会破坏任何内容。如果视频没有在第一次打开时播放（shadertoy bug） - 尝试暂停/取消暂停。请享用！

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c2q()大厅尝试

如果一切正确，图像的右侧（已处理的一侧）应等于左侧（原始）。在这里，我将回顾在xxxxx实现中通过放置一些而不是c2q()获得的不同结果：

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    return xxxxx;
}

让我们继续！

• 最初我认为必须正常工作：vec4(cross(u, v), dot(u, v))：
• SE answers之一：vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) )：
• 并以他的暗示“别忘了规范化q”：normalize(vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) ))：
• @ minorlogic的评论，似乎更近了一步：通过q扩展所有sqrt( length(v)/length(u) )的组件，vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(u)/length(v) )：
• 交换比率：vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(v)/length(u) )：

Answer 1

我的尝试：

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    float norm_q = sqrt(length(u) / length(v));
    vec4 u4 = vec4(normalize(u), 0.0);
    vec4 v4 = vec4(normalize(v), 0.0);
    return norm_q * (qmul(u4, v4 + u4) / length(v4 + u4));
}