如何计算 PCA 中计算主成分时使用的权重

Question

我将 PCA 应用于形状为 TxN 的时间序列 我想使用载荷重新计算第一台 PC，并将其与原始 PC 进行比较。 到目前为止我已经尝试过这个

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# Sample input data (replace this with \ actual data)
data = pd.DataFrame(np.random.rand(100, 20), columns=[f'Feature_{i}' for i in range(1, 21)])

# Standardize the data
scaler = StandardScaler()
data_standardized = scaler.fit_transform(data)

# Perform PCA with 10 components
pca = PCA(n_components=10)
pca.fit(data_standardized)

# Get loadings for the first principal component
loadings_first_component = pca.components_[0]

# Extract the square root of the explained variance for the first component
explained_variance_sqrt = np.sqrt(pca.explained_variance_[0])

# Scale the loadings by the square root of explained variance
loadings_first_component_scaled = loadings_first_component * explained_variance_sqrt

# Extract the first principal component
first_pc_original = pca.transform(data_standardized)[:, 0]

# Recompute the first principal component using loadings and input data
first_pc_recomputed = np.dot(data_standardized, loadings_first_component_scaled)

# Check if the recomputed first principal component is equal to the original
is_equal = np.allclose(first_pc_original, first_pc_recomputed)

print("Original First Principal Component:")
print(first_pc_original)
print("\nRecomputed First Principal Component:")
print(first_pc_recomputed)
print("\nAre they equal?", is_equal)

但是原来的PC和重新计算的PC不一样？ 我所做的最终目标是找到线性组合中使用的权重来计算第一台 PC。最初我以为 pca.components_[0] 是权重，但我认为这是错误的

Answer 1

简短回答

您错误地将标准化数据投影到缩放载荷上，而实际上您想要将数据投影到未缩放载荷上。

更换

first_pc_recomputed = np.dot(data_standardized, loadings_first_component_scaled)

与

first_pc_recomputed = np.dot(data_standardized, loadings_first_component)

说明

PCA 将数据 (X) 分解为主成分轴 (A) 和主成分分数 (S)：

X = SA.T

其中 A 是正交矩阵，.T 表示其转置。您感兴趣的是：

S = XA

在

sklearn

中结果如下：

• pca.components_

  -> A

• pca.transform()

  -> S

因此，为了获得 S，只需使用 xr.dot(X, A) 将 X 投影到

A

上即可。