numpy.eig的特征向量不正交

Question

我的问题如下：使用scipy.linalg.eig获取特征向量和特征值，我看到我所有的特征值都具有多重性1，但是当我运行下面的代码时，它并不能确认特征向量与它们应该在其中正交这个案例。有什么原因呢？或如何解决？

import scipy as SP
import numpy as NP
from scipy import linalg
from numpy import linspace,asscalar,argsort
import cmath
import time

matA=SP.array([[-0.0001, 0., 0., 0.00001, 0., 0., 0.00002, 0.],[0., -0.0002, 0., 
  0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., -0.00015, 0., 0., -9.*10**-6, 
  0., -0.00005],[0.00001, 0., 0., -0.0001, 0., 0.00001, 1.*10**-6, 
  0.],[0., 0., 0., -5.*10**-6, -0.0001, 0., 0., 0.],[0., -9.*10**-6, 
  0., 0.00001, 0., -0.0002, 0., 0.00005],[0., 0., 0., 0.00002, 0., 
  0., -0.0001, 0.],[0., 0.00004, 0., 0., 0., 0.00005, 0., -0.00015]])

matB=SP.array([[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 1.5*10**-10, 0., 0., 0., 
  0., 0.],[0., -1.5*10**-10, 0., 0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0.,
   0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0., 3.*10**-10, 0., 0.],[0., 0., 
  0., 0., -3.*10**-10, 0., 2.*10**-10, 0.],[0., 0., 0., 0., 
  0., -2.*10**-10, 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]])

matdim=len(matB[0])

#coefficient matrix for original ODE
def matM(x):
    return matA+(x**2)*matB

#define sorted eigensystem function
def eigsys(x):
    evs,EVS=linalg.eig(matM(x),check_finite=False)
    absevs=abs(evs)
    idx=argsort(absevs)[::-1]
    evs=evs[idx]
    EVS=EVS[:,idx]
    return (evs,EVS)

#check for orthogonality
eigvecs=SP.transpose(eigsys(60000)[1])
for j in range(8):
    for i in range(8):
        print SP.vdot(eigvecs[i],eigvecs[j])

#show eigenvalues all have multiplicity 1
print eigsys(60000)[0]  

Answer 1

为什么它们应该正交？您的矩阵

a=matM(60000)

远非对称，
abs(a-a.T).max() -> 2.16

与
abs(a).max() -> 1.08

因此，我不一定会期望正交特征向量。函数matM或数据matA或matB是否可能错误？

Answer 2

[正如许多其他引用的一样，不同的特征值不能保证特征向量是正交的。

但是我们有2种特殊类型的矩阵

对称矩阵和厄米矩阵]。这里特征值被保证是真实的，并且存在一组正交特征向量（即使特征值不是唯一的）。

在numpy中，

numpy.linalg.eig(any_matrix)

返回任何矩阵的特征值和特征向量（特征向量可能不正交）

而且我们具有内置功能

查找正交特征向量

，用于对称和Hermitian矩阵。eigen_values, eigen_vectors = numpy.linalg.eigh(symmetric_matrix)

注意

：numpy.linalg.eigh将仅考虑矩阵的上三角部分或下三角部分来计算特征值（对于这些特殊矩阵，一部分类似于另一部分的镜像）。因此，如果传递既不是对称也不是Hermitian的矩阵来获取正交特征向量，它将使用该矩阵的下三角部分构造一个对称矩阵（实际上并不是为了我们的理解而构造的），并返回特征值和特征向量（它们是正交！）。因此答案将是错误的！

有关更多详细信息，请参阅

• Eigen values of symmetric matrices

• numpy.linalg.eigh