如何计算 R 中给定分布的期望值？

Question

我遇到了一个乍一看似乎根本没有问题的问题。

我想编写一个函数，它将接受分布名称和参数作为参数，并返回给定分布的期望值。在我的代码中，我将使用参数 alpha = 0.2 和 beta = 0.3 的 Beta 分布。该分布的期望值为：0.2 / (0.2 + 0.3) = 0.2 / 0.5 = 0.4

最简单的方法似乎是采样：

estimatedExpectedValue <- function(distribution, parameters) {
  do.call(get(paste0("r",distribution)), as.list(c(10000, parameters))) %>% mean
}

estimatedExpectedValue("beta",c(0.2,0.3))
[1] 0.4006945

虽然这很容易实现，但样本均值“只是”期望值的最大似然估计，因此它总是存在一些误差。这取决于上下文，无论这是否重要。

那么我们也知道期望值的定义是：

...其中 f(x) 是密度函数，在 R 中我们可以进行数值积分，因此：

expectedValueFromIntegration <- function(distribution, parameters) {
  fnToBeIntegrated <- Vectorize(
    function(x) {x * do.call(get(paste0("d",distribution)), as.list(c(x, parameters)))},
    vectorize.args = c("x"))
  
  integrate(fnToBeIntegrated, lower = -Inf, upper = Inf)
}

expectedValueFromIntegration("beta",c(0.2,0.3))
Error in integrate(fnToBeIntegrated, lower = -Inf, upper = Inf) : 
  non-finite function value

但是，正如您所看到的，由于某种原因，dbeta 在某些时候给出了 NaN，而集成函数不喜欢它。我很清楚 Beta 分布的支持度从 0 开始，到 1 结束，但是在支持度之外密度应该为 0，并且从数学上来说，对于任何分布（即使对于离散分布）来说，一切都应该很好，如果我们只是在实轴上积分。

但是在 R 中，如果我集成支持，它就会起作用：

expectedValueFromIntegration <- function(distribution, parameters) {
  fnToBeIntegrated <- Vectorize(
    function(x) {x * do.call(get(paste0("d",distribution)), as.list(c(x, parameters)))},
    vectorize.args = c("x"))
  
  integrate(fnToBeIntegrated, lower = 0, upper = 1)
}

expectedValueFromIntegration("beta",c(0.2,0.3))
0.4 with absolute error < 1.9e-05

但是，现在我需要知道（即输入）对发行版的支持，或者至少创建某种查找表，因为据我了解，R 没有存储在任何地方的不同发行版的支持信息，对吗？

还有第三种方法吗？我正在寻找一种通用的方法来做到这一点，因为我不喜欢使用 ifelse 结构，并且对每个发行版使用不同的方法。

Answer 1

如果需要分布的支持，可以使用

q*

（分位数函数）来求解支持，指定

c(0,1)

为分位数。

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下面只是一些示例来给您提供想法，您可以根据您的编码风格进行自定义

# support of beta distribution
> qbeta(0:1, 0.2, 0.3)
[1] 0 1

# support of gamma distribution
> qgamma(0:1, 0.2)
[1]   0 Inf

# support of norm distribution
> qnorm(0:1)
[1] -Inf  Inf