在 manim 中可视化单应性

Question

我正在尝试制作一个动画，在其中我可以看到某些区域如何通过复杂函数进行转换。具体来说，现在我想看看单位圆盘是如何通过单应性变换的。

令 $f(z)= rac{2z-1}{z-2}$。我认为这个单应变换单位盘本身，我想以图形方式检查它。这是我的代码，它对复制、粘贴和尝试随机的事情有影响，直到它起作用。

from manim import *
import numpy as np

class homography(LinearTransformationScene):
    def construct(self):
        disc = Circle(radius=1, color=BLUE_B, fill_opacity=1)
        ring = AnnularSector(inner_radius=1, outer_radius=1.5, angle=360 * DEGREES, color=RED)
        point = Dot(point=np.array([1/2.,0.,0.]),radius=0.1,color=RED)
        "self.add_transformable_mobject(disc)"
        self.play(
            ApplyPointwiseFunction(
                lambda point: complex_to_R3((2*R3_to_complex(point)-1)/(R3_to_complex(point)-2)), disc
            )
            
        )
        self.play(
            ApplyPointwiseFunction(
                lambda point: complex_to_R3((2*R3_to_complex(point)-1)/(R3_to_complex(point)-2)), ring
            )
        )
        self.play(
            ApplyPointwiseFunction(
                lambda point: complex_to_R3((2*R3_to_complex(point)-1)/(R3_to_complex(point)-2)), point
            )    
        )
         
        self.wait()

我有一些问题： 1.函数complex_to_R3，它有什么作用？我找不到描述它的地方，我认为它将复平面更改为 R^2 平面，如果是的话为什么名称中是 3 而不是 2？

2.如何限制地图的域？现在 z=2 处的地图未定义。这在我的代码中不是问题，因为我只使用不包含 z=2 的区域，但如果我想查看半径为 2 的圆盘是如何转换的，那么由于除以 0，我无法查看。我想要具体的一行代码，我不知道这种语言，实际上今天是我很长时间以来第一次编写代码。

我尝试在网上寻找解决方案，但失败了。

Answer 1

1. 函数complex_to_R3是Manim中的一个辅助函数，它将复数转换为笛卡尔坐标系中的3D点。这就是为什么它的名称中有“3”而不是“2”。在此上下文中，它用于将表示复平面中的点的复数转换为 3D 点，以便它们可以在场景中可视化。

2. 要限制映射的域并避免被零除，您可以在ApplyPointwiseFunction 内的lambda 函数中使用条件语句。以下是如何修改代码以限制域以排除 z=2 的示例：

   self.play( ApplyPointwiseFunction( lambda point: complex_to_R3((2*R3_to_complex(point)-1)/(R3_to_complex(point)-2)) if R3_to_complex(point) != 2 else np.array([0, 0, 0]), disc ) )

在此修改后的代码中，如果 R3_to_complex(point) 等于 2，则 lambda 函数将返回 [0, 0, 0] 而不是执行除法。这有效地从可视化中删除了 z = 2 处的点。