确定4x4转换矩阵是否比可可缩放和转换要多

Question

给出一个4x4 3d转换矩阵，最好的方法是计算它是否比缩放和平移还要多？具体来说，我想知道图像是否旋转或倾斜。

我正在使用Cocoa，因此可以使用CoreGraphics和CoreAnimation之类的库。

Answer 1

查看元素编号如下的矩阵：

[ a00 a01 a02 a03 ]
[ a10 a11 a12 a13 ]
[ a20 a21 a22 a23 ]
[ a30 a31 a32 a33 ]

• 缩放转换在元素a00，a11和/或a22中具有1.0以外的值。
• 转换矩阵的元素a03，a13和/或a23中的值除0.0外。

如果这些是您期望的唯一类型的转换，则所有其他值必须与身份矩阵匹配。

除非您要处理例如投影矩阵，否则在最后一行具有非同一性值相对较少。如果所讨论的矩阵可能具有该形式，则必须测试：

a30 == 0.0
a31 == 0.0
a32 == 0.0
a33 == 1.0

除此之外，您只需要测试左上3x3矩阵的非对角元素为零：

a01 == 0.0
a02 == 0.0
a10 == 0.0
a12 == 0.0
a20 == 0.0
a21 == 0.0

这些值中的任何一个都不为零都会引入某种形式的旋转/偏斜。

与往常一样，在比较浮点值是否相等时要小心。如果从未将其设置为其他任何值，则上述值将恰好为0.0。但是，如果矩阵是某种形式的计算结果，则可能必须测试值是否小于小常数，而不是精确地测试0.0。

测试矩阵值时，请注意矩阵以行或列为主的顺序存储。例如，如果矩阵元素存储在数组中，则元素a03将以行优先的顺序位于索引3处，而以列优先的顺序位于索引12处。

Answer 2

如果您不了解，请参阅Understanding 4x4 homogenous transform matrices

现在，如果您的变换只是：

1. 旋转

   然后，轴保持彼此垂直，并且其大小保持相同（通常是单位矢量），但它们会旋转。

2. 缩放

   仅更改轴方向矢量的大小，因此轴必须保持彼此垂直并且不改变方向。

3. translation

   这只会移动原点向量，其余所有点都保持原状

4. 歪斜

   这会破坏正交性，因此轴将不会彼此垂直

如果将它们放在一起

缩放和平移应该使左轴与全局轴平行，这样：

1. 提取轴矢量X,Y,Z
2. 使其成为单位向量
3. 将它们与全局坐标轴进行比较
4. 矩阵的投影部分应为P=(0,0,0,1) ...下一行

类似：

X/=|X|;
Y/=|Y|;
Z/=|Z|;

if ( fabs(fabs(dot(X,(1,0,0)))-1.0)
    +fabs(fabs(dot(Y,(0,1,0)))-1.0)
    +fabs(fabs(dot(Z,(0,0,1)))-1.0)
    +fabs(P.x-0.0)
    +fabs(P.y-0.0)
    +fabs(P.z-0.0)
    +fabs(P.w-1.0) > 1e-6) return "not just scaling&translation";

其中：

|X|=sqrt(X.x*X.x+X.y*X.y+X.z*X.z);
dot(X,Y)=(X.x*Y.x)+(X.y*Y.y)+(X.z*Y.z);

[[notes]

当心矩阵形式，如果您有行矩阵，我将使用OpenGL样式矩阵（列方式），那么您需要转置...