复杂厄米矩阵的特征分析：EIG和EIGH的不同相角

Question

我知道，特征向量仅定义为一个乘法常数。据我所知，所有numpy算法（例如linalg.eig，linalg.eigh，linalg.svd）对于实矩阵产生相同的特征向量，因此显然它们使用相同的归一化。但是，在复杂矩阵的情况下，算法会得出不同的结果。

即，特征向量直到（复数）常数z都是相同的。在对eig和eigh进行了一些实验之后，我意识到eigh总是将每个本征向量的第一个分量的相位角（定义为arctan（复数部分/实数部分））设置为0，而eig似乎开始具有一些（任意？）非零相位角。

Q：是否有一种方法可以按照eigh的方式归一化eig的特征向量（即不强制相位角= 0？]]]

示例

我有一个复杂的厄米矩阵G，我想使用以下两种算法来计算特征向量：

• numpy.linalg.eig用于实数/ 复方矩阵
• numpy.linalg.eigh表示实对称/ 复厄密矩阵]（特殊情况为1）

检查G是否为埃尔米特氏族

# check if a matrix is hermitian
def isHermitian(a, rtol=1e-05, atol=1e-08):
    return np.allclose(a, a.conjugate().T, rtol=rtol, atol=atol)

print('G is hermitian:', isHermitian(G))

输出：

G is hermitian: True

进行特征分析

# eigenvectors from EIG()
l1,u1 = np.linalg.eig(G)
idx = np.argsort(l1)[::-1]
l1,u1 = l1[idx].real,u1[:,idx]

# eigenvectors from EIGH()
l2,u2 = np.linalg.eigh(G)
idx = np.argsort(l2)[::-1]
l2,u2 = l2[idx],u2[:,idx]

检查特征值

print('Eigenvalues')
print('eig\t:',l1[:3])
print('eigh\t:',l2[:3])

输出：

Eigenvalues
eig     : [2.55621629e+03 3.48520440e+00 3.16452447e-02]
eigh    : [2.55621629e+03 3.48520440e+00 3.16452447e-02]

两种方法都产生相同的特征向量。

检查特征向量

现在查看特征向量（例如3.特征向量），它们相差一个常数因子z。

multFactors = u1[:,2]/u2[:,2]
if np.count_nonzero(multFactors[0] == multFactors):
    print("All multiplication factors are same:", multFactors[0])
else:
    print("Multiplication factors are different.")

输出：
All multiplication factors are same: (-0.8916113627685007+0.45280147727156245j)
检查相角
现在检查3.特征向量的第一个分量的相角：

print('Phase angel (in PI) for first point:')
print('Eig\t:',np.arctan2(u1[0,2].imag,u1[0,2].real)/np.pi)
print('Eigh\t:',np.arctan2(u2[0,2].imag,u2[0,2].real)/np.pi)
输出：
Phase angel (in PI) for first point:
Eig     : 0.8504246311627189
Eigh    : 0.0
复制图形的代码
num = 2
fig = plt.figure()
gs = gridspec.GridSpec(2, 3) 
ax0 = plt.subplot(gs[0,0])
ax1 = plt.subplot(gs[1,0])
ax2 = plt.subplot(gs[0,1:])
ax3 = plt.subplot(gs[1,1:])
ax2r= ax2.twinx()
ax3r= ax3.twinx()
ax0.imshow(G.real,vmin=-30,vmax=30,cmap='RdGy')
ax1.imshow(G.imag,vmin=-30,vmax=30,cmap='RdGy')
ax2.plot(u1[:,num].real,label='eig')
ax2.plot((u2[:,num]).real,label='eigh')
ax3.plot(u1[:,num].imag,label='eig')
ax3.plot((u2[:,num]).imag,label='eigh')
for a in [ax0,ax1,ax2,ax3]:
    a.set_xticks([])
    a.set_yticks([])
ax0.set_title('Re(G)')
ax1.set_title('Im(G)')
ax2.set_title('Re('+str(num+1)+'. Eigenvector)')
ax3.set_title('Im('+str(num+1)+'. Eigenvector)')
ax2.legend(loc=0)
ax3.legend(loc=0)
fig.subplots_adjust(wspace=0, hspace=.2,top=.9) 
fig.suptitle('Eigenanalysis of Hermitian Matrix G',size=16)
plt.show()

我知道，特征向量仅定义为一个乘法常数。据我所见，所有的numpy算法（例如linalg.eig，linalg.eigh，linalg.svd）对于真实的... ...> 
根据我的经验（这里有很多问题可以证明这一点），当您选择eig时，您
NEVER想要使用eigh-eig非常慢且非常不稳定。与此相关的是，我认为您的问题是后退的-您想将eig的特征向量归一化为eigh的特征向量，并且您知道该怎么做。

Answer 1

根据我的经验（这里有很多问题可以证明这一点），当您选择eig时，您

NEVER想要使用eigh-eig非常慢且非常不稳定。与此相关的是，我认为您的问题是后退的-您想将eig的特征向量归一化为eigh的特征向量，并且您知道该怎么做。