假设按时间顺序进行了三次二项式实验。对于每个实验，我都知道#of试验以及#of'scescesses。为了使用前两个较旧的实验作为第三个实验的先验，我想“在两个较旧的实验上拟合贝叶斯分层模型，并使用与第三个实验相同的后验形式”。
鉴于我的可用数据（如下），我的问题是：我的rstanarm代码是否在下面捕获我上面描述的内容？
Study1_trial = 70
Study1_succs = 27
#==================
Study2_trial = 84
Study2_succs = 31
#==================
Study3_trial = 100
Study3_succs = 55
我在包rstanarm中尝试过的：
library("rstanarm")
data <- data.frame(n = c(70, 84, 100), y = c(27, 31, 55));
mod <- stan_glm(cbind(y, n - y) ~ 1, prior = NULL, data = data, family = binomial(link = 'logit'))
## can I use a beta(1.2, 1.2) as prior for the first experiment?
TL; DR：如果你直接预测成功的概率，模型将是具有参数theta（成功概率）的伯努利可能性，其可以取0和1之间的值。在这种情况下，您可以为theta使用Beta。但是使用逻辑回归模型，您实际上是对成功的对数几率进行建模，这可以采用从-Inf到Inf的任何值，因此具有正态分布的先验（或者其他一些可以在其中具有任何实际值的先验值）某些范围由可用的先前信息确定）更合适。
对于唯一参数是截距的模型，先验是对数成功几率的概率分布。数学上，该模型是：
log(p/(1-p)) = a
其中p是成功的概率，a，你估计的参数是截距，可以是任何实数。如果成功的几率是1：1（即p = 0.5）那么a = 0。如果赔率大于1：1则a为正。如果赔率小于1：1则a为负数。
由于我们想要a的先验，我们需要一个可以承担任何实际价值的概率分布。如果我们对成功几率一无所知，我们可能会使用非常弱信息的先验，如正态分布，例如，均值= 0和sd = 10（这是rstanarm默认值），这意味着一个标准差将会包括成功的几率从大约22000：1到1：22000！所以这个先验基本上是平的。
如果我们将前两个研究用于构建先验，我们可以使用基于这些研究的概率密度，然后将其转换为对数几率表：
# Possible outcomes (that is, the possible number of successes)
s = 0:(70+84)
# Probability density over all possible outcomes
dens = dbinom(s, 70+84, (27+31)/(70+84))
假设我们将使用先验的正态分布，我们希望最有可能的成功概率（这将是先前的均值）和均值的标准差。
# Prior parameters
pp = s[which.max(dens)]/(70+84) # most likely probability
psd = sum(dens * (s/max(s) - pp)^2)^0.5 # standard deviation
# Convert prior to log odds scale
pp_logodds = log(pp/(1-pp))
psd_logodds = log(pp/(1-pp)) - log((pp-psd)/(1 - (pp-psd)))
c(pp_logodds, psd_logodds)
[1] -0.5039052 0.1702006
您可以通过在前两个研究中使用默认（平坦）之前运行stan_glm来生成基本相同的先验：
prior = stan_glm(cbind(y, n-y) ~ 1,
data = data[1:2,],
family = binomial(link = 'logit'))
c(coef(prior), se(prior))
[1] -0.5090579 0.1664091
现在让我们使用研究3中的数据来使用我们刚刚生成的默认先验和先验来拟合模型。我已切换到标准数据框，因为当数据框只有一行时（如stan_glm），data = data[3, ]似乎失败了。
# Default weakly informative prior
mod1 <- stan_glm(y ~ 1,
data = data.frame(y=rep(0:1, c(45,55))),
family = binomial(link = 'logit'))
# Prior based on studies 1 & 2
mod2 <- stan_glm(y ~ 1,
data = data.frame(y=rep(0:1, c(45,55))),
prior_intercept = normal(location=pp_logodds, scale=psd_logodds),
family = binomial(link = 'logit'))
为了进行比较，我们还生成一个包含所有三个研究和默认平坦先验的模型。我们希望这个模型能给出与mod2几乎相同的结果：
mod3 <- stan_glm(cbind(y, n - y) ~ 1,
data = data,
family = binomial(link = 'logit'))
现在让我们比较三种模型：
library(tidyverse)
list(`Study 3, Flat Prior`=mod1,
`Study 3, Prior from Studies 1 & 2`=mod2,
`All Studies, Flat Prior`=mod3) %>%
map_df(~data.frame(log_odds=coef(.x),
p_success=predict(.x, type="response")[1]),
.id="Model")
Model log_odds p_success 1 Study 3, Flat Prior 0.2008133 0.5500353 2 Study 3, Prior from Studies 1 & 2 -0.2115362 0.4473123 3 All Studies, Flat Prior -0.2206890 0.4450506
对于具有平坦先验（第1行）的研究3，预测的成功概率为0.55，因为这是数据所说的，而先前没有提供额外信息。
对于具有基于研究1和2的先验的研究3，成功的概率是0.45。成功的可能性较低是由于研究1和2中增加额外信息的成功概率较低。事实上，mod2成功的概率正是你直接根据数据计算的：with(data, sum(y)/sum(n))。 mod3将所有信息放入可能性中，而不是在先验和可能性之间进行分割，但在本质上与mod2相同。