求解具有 3 个未知数的 2 个方程组

Question

我必须求解这个三个未知数的方程组。

10x+5y+0.5z = 100
x+y+z = 100

在我的课程中，我被告知要使用

for

循环，但是，在我看来，这很困难。我想，我可以使用 numpy，但我的代码不正确。

import numpy as np

M1 = np.array([[10., 5., 0.5], [1., 1., 1.]])                        
v1 = np.array([100., 100.])

np.linalg.inv(M1).dot(v1)

Answer 1

当求解方程数量少于变量的多变量线性方程时，这会变得很困难。这是因为解不是唯一的。这意味着同一组方程有多个答案。如果您的问题包含第三个方程，则求解该组方程的代码将如下所示：

import numpy as np

A = [[x1,y1,z1],[x2,y2,z2],[x3,y3,z3]] # Matrix of the coefficients of the left hand side of the equ.
B = [[d1],[d2],[d3]] # Where the d's represents the coefficients of the right hand side of the equ.
C = np.linalg.solve(A,B) # The order of the A,B matter.
#Also pay attention to the dimension of the matrices A = (3,3) , B = (3,1)
#If we had to swap the dimension of B = [d1,d2,d3] = (1,3) this calculation would 
#not work.

Answer 2

这里遇到的是一个约束不足的问题，这意味着有无限多个解决方案，正如其他人所说。解决此类问题的一种选择是使用吉洪诺夫正则化，又名“岭回归”。您当前的问题是 Ax = b，其中

A

是

2x3

矩阵，

x

是

3x1

向量，

b

是

2x1

向量。 Tikhonov 正则化表示，您可以通过解决此问题来找到具有最小 2-范数的向量

x

：

(A'A - λI)x = A'b

，然后将极限设为

λ

变为 0。这是在 sympy 中解决的问题。

import sympy as smp

A = smp.Matrix([[10, 5, 0.5], [1, 1, 1]])
b = smp.Matrix([[100], [100]])
lamb = smp.symbols("\\lambda")
x = (A.T@A - lamb*smp.eye(3)).solve(A.T@b).subs(lamb, 0)
print(x)  # Matrix([[-11.2546125461255], [34.8708487084871], [76.3837638376384]])

我们可以检查我们的解决方案是否有效。

print(A@x) # Matrix([[100.000000000000], [100.000000000000]])