从特征分解中提取特征向量

Question

我正在遵循步骤顺序：

1. 给定 A 是 m × n，那么我们对 A = USVT 执行 SVD

2. 然后求U’=(1/2)(U+UT)得到对称矩阵

3. 然后，对 U’, m × m 进行特征值分解。

4. 提取与正特征值相对应的正特征向量并形成矩阵 X，即 m × k

5. 对XTX进行SVD，得到SO(n)中正特征值的U

6. 重复步骤 4 和 5，但对于负特征向量

但是，我似乎无法获得正特征值的正确 U（正如我使用 SVD 和特征向量计算器在线验证的那样）并且负特征向量不存在。对以下内容有任何帮助或我可以做出任何改进吗？

import numpy as np

def svd(A):
    U, S, VT = np.linalg.svd(A, full_matrices=True)
    return U, S, VT

def symmetric(U):
    U_symmetric = 0.5 * (U + U.T)
    return U_symmetric

def eigenvalue_decomposition(U):
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(U)
    return eigenvalues, eigenvectors

def extract_positive_eigenvectors(eigenvalues, eigenvectors):
    positive_indices = np.where(eigenvalues > 0)
    if len(positive_indices[0]) == 0:
        return None
    X = eigenvectors[:, positive_indices]
    return X

def extract_negative_eigenvectors(eigenvalues, eigenvectors):
    negative_indices = np.where(eigenvalues < 0)
    if len(negative_indices[0]) == 0:
        return None
    X = eigenvectors[:, negative_indices]
    return X

A = np.array([[1, 2, 2], [0, 1, 2]])

U, _, _ = svd(A)
U_symmetric = symmetric(U)
eigenvalues, eigenvectors = eigenvalue_decomposition(U_symmetric)

# extract positive eigenvectors (if any)
X_positive = extract_positive_eigenvectors(eigenvalues, eigenvectors)

if X_positive is not None:
    X_positive_2d = X_positive.reshape(X_positive.shape[0], -1)
    U_positive, _, _ = svd(np.dot(X_positive_2d.T, X_positive_2d))
else:
    U_positive = None

print("Matrix U from SVD of XTX for positive eigenvectors:")
print(U_positive)

# extract negative eigenvectors (if any)
X_negative = extract_negative_eigenvectors(eigenvalues, eigenvectors)

if X_negative is not None:
    X_negative_2d = X_negative.reshape(X_negative.shape[0], -1)
    U_negative, _, _ = svd(np.dot(X_negative_2d.T, X_negative_2d))
else:
    U_negative = None

print("Matrix U from SVD of XTX for negative eigenvectors:")
print(U_negative)

Answer 1

• 在

  extract_positive_eigenvectors

  中，您需要使用从np.where获得的索引来正确提取相应的特征向量。目前，您直接使用索引，这会导致切片不正确。

X = eigenvectors[:, positive_indices[0]]  # for positive eigenvectors

• 与

  extract_negative_eigenvectors

  功能相同。

X = eigenvectors[:, negative_indices[0]] # for negative eigenvectors