我如何对以下表达式进行数值积分？

Question

我目前正在尝试在 Python 中计算以下表达式

该表达式来自 t 分布，v 是表示自由度的标量，mu 和 sigma 分别是向量和矩阵，定义平均值和标准差。我将如何继续获得表达式的数值积分？我已经使用 PyTorch 和 Scipy 四元函数尝试了以下操作：

def integrand(x, mu, std,v,p):
    return torch.sum((1+(x-mu)**2*std**(-2)/v)**((-v+p)/2)*torch.log(1+x**2/v))

integrate.quad(integrand, -np.inf,np.inf, args=(mu,std,v,p))[0]

然而，结果却相当令人失望。让我烦恼的是向量，我认为我不知道如何处理这种情况，也没有指定限制。非常感谢您的帮助，非常感谢！如果需要更多信息，请告诉我。

Answer 1

有点晚了，但这个问题似乎还没有解决。

粗体 z (z) 通常用于矢量表示法，在这种情况下它会被检查出来，因为积分中的左侧部分是 多元 t 分布的 kernel。

在您的情况下似乎有问题的是计算向量乘法的方式。

首先，如果

x

是一个列表/数组，

(x-mu)**2

甚至不会计算，所以我假设 x 是一个 Numpy 数组。因此，使用带有幂运算符的

numpy

数组可以计算逐元素幂：

> np.array([1,2,3])**2
array([1, 4, 9])

但是，您尝试评估的多元密度核是一个标量函数（因为它输出一个标量）。这意味着默认情况下您的矢量符号以列为单位，并且 z^Tz 是标量。因此，您必须对向量平方求和：

sum((x-mu)**2)

。

目前让我烦恼的是，如果你使用多元 t 分布，那么你就有一个多元积分，而且我不太知道

scipy.integrate

如何处理这个问题，除非你在路径上积分。您可以考虑其他替代方案，例如

scipy.nquad

等