给定稀疏矩阵列表，计算矩阵中每列（或行）之间的余弦相似度的最佳方法是什么？我宁愿不迭代n次选择两次。
说输入矩阵是：
A=
[0 1 0 0 1
0 0 1 1 1
1 1 0 1 0]
稀疏表示是：
A =
0, 1
0, 4
1, 2
1, 3
1, 4
2, 0
2, 1
2, 3
在Python中，使用矩阵输入格式很简单：
import numpy as np
from sklearn.metrics import pairwise_distances
from scipy.spatial.distance import cosine
A = np.array(
[[0, 1, 0, 0, 1],
[0, 0, 1, 1, 1],
[1, 1, 0, 1, 0]])
dist_out = 1-pairwise_distances(A, metric="cosine")
dist_out
得到：
array([[ 1. , 0.40824829, 0.40824829],
[ 0.40824829, 1. , 0.33333333],
[ 0.40824829, 0.33333333, 1. ]])
这对于全矩阵输入来说很好，但我真的想从稀疏表示开始（由于我的矩阵的大小和稀疏性）。关于如何最好地实现这一点的任何想法？提前致谢。
您可以使用sklearn直接计算稀疏矩阵行上的成对余弦相似度。从版本0.17开始，它还支持稀疏输出：
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity
from scipy import sparse
A = np.array([[0, 1, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 1, 1],[1, 1, 0, 1, 0]])
A_sparse = sparse.csr_matrix(A)
similarities = cosine_similarity(A_sparse)
print('pairwise dense output:\n {}\n'.format(similarities))
#also can output sparse matrices
similarities_sparse = cosine_similarity(A_sparse,dense_output=False)
print('pairwise sparse output:\n {}\n'.format(similarities_sparse))
结果：
pairwise dense output:
[[ 1. 0.40824829 0.40824829]
[ 0.40824829 1. 0.33333333]
[ 0.40824829 0.33333333 1. ]]
pairwise sparse output:
(0, 1) 0.408248290464
(0, 2) 0.408248290464
(0, 0) 1.0
(1, 0) 0.408248290464
(1, 2) 0.333333333333
(1, 1) 1.0
(2, 1) 0.333333333333
(2, 0) 0.408248290464
(2, 2) 1.0
如果你想要逐列余弦相似性，只需事先转置你的输入矩阵：
A_sparse.transpose()
以下方法比scipy.spatial.distance.pdist快约30倍。它在大型矩阵上运行得非常快（假设你有足够的RAM）
有关如何优化稀疏性的讨论，请参见下文。
# base similarity matrix (all dot products)
# replace this with A.dot(A.T).toarray() for sparse representation
similarity = numpy.dot(A, A.T)
# squared magnitude of preference vectors (number of occurrences)
square_mag = numpy.diag(similarity)
# inverse squared magnitude
inv_square_mag = 1 / square_mag
# if it doesn't occur, set it's inverse magnitude to zero (instead of inf)
inv_square_mag[numpy.isinf(inv_square_mag)] = 0
# inverse of the magnitude
inv_mag = numpy.sqrt(inv_square_mag)
# cosine similarity (elementwise multiply by inverse magnitudes)
cosine = similarity * inv_mag
cosine = cosine.T * inv_mag
如果您的问题是大规模二进制首选项问题的典型问题，那么您在一个维度中的条目数量将多于另一个维度。此外，短维度是您想要计算其间相似性的条目。我们将此维度称为“项目”维度。
如果是这种情况，请在行中列出“项目”并使用A创建scipy.sparse。然后按照指示更换第一行。
如果您的问题不典型，则需要进行更多修改。这些应该是基本的numpy操作与他们的scipy.sparse等效的非常简单的替换。
我上面尝试了一些方法。然而，@ zbinsd的实验有其局限性。实验中使用的矩阵稀疏度极低，而实际稀疏度通常超过90％。在我的情况下，稀疏的形状为（7000,25000），稀疏度为97％。方法4非常慢，我无法容忍得到结果。我使用方法6，它在10秒内完成。令人惊讶的是，我尝试了下面的方法，它只用了0.247秒。
import sklearn.preprocessing as pp
def cosine_similarities(mat):
col_normed_mat = pp.normalize(mat.tocsc(), axis=0)
return col_normed_mat.T * col_normed_mat
这种有效的方法由enter link description here联系起来
我拿了所有这些答案并写了一个脚本来1.验证每个结果（见下面的断言）和2.看哪个是最快的。代码和结果如下：
# Imports
import numpy as np
import scipy.sparse as sp
from scipy.spatial.distance import squareform, pdist
from sklearn.metrics.pairwise import linear_kernel
from sklearn.preprocessing import normalize
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity
# Create an adjacency matrix
np.random.seed(42)
A = np.random.randint(0, 2, (10000, 100)).astype(float).T
# Make it sparse
rows, cols = np.where(A)
data = np.ones(len(rows))
Asp = sp.csr_matrix((data, (rows, cols)), shape = (rows.max()+1, cols.max()+1))
print "Input data shape:", Asp.shape
# Define a function to calculate the cosine similarities a few different ways
def calc_sim(A, method=1):
if method == 1:
return 1 - squareform(pdist(A, metric='cosine'))
if method == 2:
Anorm = A / np.linalg.norm(A, axis=-1)[:, np.newaxis]
return np.dot(Anorm, Anorm.T)
if method == 3:
Anorm = A / np.linalg.norm(A, axis=-1)[:, np.newaxis]
return linear_kernel(Anorm)
if method == 4:
similarity = np.dot(A, A.T)
# squared magnitude of preference vectors (number of occurrences)
square_mag = np.diag(similarity)
# inverse squared magnitude
inv_square_mag = 1 / square_mag
# if it doesn't occur, set it's inverse magnitude to zero (instead of inf)
inv_square_mag[np.isinf(inv_square_mag)] = 0
# inverse of the magnitude
inv_mag = np.sqrt(inv_square_mag)
# cosine similarity (elementwise multiply by inverse magnitudes)
cosine = similarity * inv_mag
return cosine.T * inv_mag
if method == 5:
'''
Just a version of method 4 that takes in sparse arrays
'''
similarity = A*A.T
square_mag = np.array(A.sum(axis=1))
# inverse squared magnitude
inv_square_mag = 1 / square_mag
# if it doesn't occur, set it's inverse magnitude to zero (instead of inf)
inv_square_mag[np.isinf(inv_square_mag)] = 0
# inverse of the magnitude
inv_mag = np.sqrt(inv_square_mag).T
# cosine similarity (elementwise multiply by inverse magnitudes)
cosine = np.array(similarity.multiply(inv_mag))
return cosine * inv_mag.T
if method == 6:
return cosine_similarity(A)
# Assert that all results are consistent with the first model ("truth")
for m in range(1, 7):
if m in [5]: # The sparse case
np.testing.assert_allclose(calc_sim(A, method=1), calc_sim(Asp, method=m))
else:
np.testing.assert_allclose(calc_sim(A, method=1), calc_sim(A, method=m))
# Time them:
print "Method 1"
%timeit calc_sim(A, method=1)
print "Method 2"
%timeit calc_sim(A, method=2)
print "Method 3"
%timeit calc_sim(A, method=3)
print "Method 4"
%timeit calc_sim(A, method=4)
print "Method 5"
%timeit calc_sim(Asp, method=5)
print "Method 6"
%timeit calc_sim(A, method=6)
结果：
Input data shape: (100, 10000)
Method 1
10 loops, best of 3: 71.3 ms per loop
Method 2
100 loops, best of 3: 8.2 ms per loop
Method 3
100 loops, best of 3: 8.6 ms per loop
Method 4
100 loops, best of 3: 2.54 ms per loop
Method 5
10 loops, best of 3: 73.7 ms per loop
Method 6
10 loops, best of 3: 77.3 ms per loop
你应该看看scipy.sparse（link）。您可以像使用普通矩阵一样对这些稀疏矩阵应用运算。
嗨，你可以这样做
temp = sp.coo_matrix((data, (row, col)), shape=(3, 59))
temp1 = temp.tocsr()
#Cosine similarity
row_sums = ((temp1.multiply(temp1)).sum(axis=1))
rows_sums_sqrt = np.array(np.sqrt(row_sums))[:,0]
row_indices, col_indices = temp1.nonzero()
temp1.data /= rows_sums_sqrt[row_indices]
temp2 = temp1.transpose()
temp3 = temp1*temp2
建立Vaali的解决方案：
def sparse_cosine_similarity(sparse_matrix):
out = (sparse_matrix.copy() if type(sparse_matrix) is csr_matrix else
sparse_matrix.tocsr())
squared = out.multiply(out)
sqrt_sum_squared_rows = np.array(np.sqrt(squared.sum(axis=1)))[:, 0]
row_indices, col_indices = out.nonzero()
out.data /= sqrt_sum_squared_rows[row_indices]
return out.dot(out.T)
这需要一个稀疏矩阵（最好是一个csr_matrix）并返回一个csr_matrix。它应该使用稀疏计算执行更密集的部分，并且内存开销非常小。 我没有广泛测试它，所以请注意 （更新：我对此解决方案充满信心，因为我已对其进行了测试和基准测试）
此外，这里是Waylon解决方案的稀疏版本，以防它帮助任何人，不确定哪个解决方案实际上更好。
def sparse_cosine_similarity_b(sparse_matrix):
input_csr_matrix = sparse_matrix.tocsr()
similarity = input_csr_matrix * input_csr_matrix.T
square_mag = similarity.diagonal()
inv_square_mag = 1 / square_mag
inv_square_mag[np.isinf(inv_square_mag)] = 0
inv_mag = np.sqrt(inv_square_mag)
return similarity.multiply(inv_mag).T.multiply(inv_mag)
两种解决方案似乎都与sklearn.metrics.pairwise.cosine_similarity具有相同性
:-D
更新：
现在我已经针对我现有的Cython实现测试了两个解决方案：https://github.com/davidmashburn/sparse_dot/blob/master/test/benchmarks_v3_output_table.txt，看起来第一个算法在大多数情况下都是最好的。
def norm(vector):
return sqrt(sum(x * x for x in vector))
def cosine_similarity(vec_a, vec_b):
norm_a = norm(vec_a)
norm_b = norm(vec_b)
dot = sum(a * b for a, b in zip(vec_a, vec_b))
return dot / (norm_a * norm_b)
如果你一次传入一对向量，这个方法似乎比使用sklearn的实现要快一些。
我建议分两步进行：
1）生成映射A，映射A：列索引 - >非零对象
2）对于具有非零出现的每个对象i（行）（列）{k1，.. kn}计算联合集中的元素的余弦相似度A [k1] U A [k2] U .. A [kn]
假设具有高稀疏度的大稀疏矩阵，这将比蛮力获得显着提升