数组复数的离散小波变换（Daubechies 小波）

Question

比如说，我有一个表示为实数数组的信号

y = [1,2,0,4,5,6,7,90,5,6]

。我可以使用 Daubechies-4 系数

D4 = [0.482962, 0.836516, 0.224143, -0.129409]

，并应用小波变换来接收信号的高频和低频。因此，高频分量将这样计算：

high[v] = y[2*v]*D4[0] + y[2*v+1]*D4[1] + y[2*v+2]*D4[2] + y[2*v+3]*D4[3], 

低频分量可以使用其他 D4 系数排列来计算。

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问题是：如果

y

是复数数组怎么办？我是否只是通过复数相乘和相加来接收子带，或者获取幅度和相位是否正确，将它们视为实数，对它们进行小波变换，然后使用公式恢复每个子带的复数数组

 real_part = abs * cos(phase)

和

imaginary_part = abs * sin(phase)

？

Answer 1

要处理复杂数据的情况，您需要查看复杂小波变换。它实际上是 DWT 的简单扩展。处理复杂数据的最常见方法是将实部和虚部视为两个单独的信号，并对每个分量分别执行 DWT。然后您将收到实部和虚部的分解。

这通常称为双树复杂小波变换。我从维基百科中提取的下图可以最好地描述这一点：

^{来源：维基百科}

之所以称为“双树”，是因为有两个并行发生的 DWT 分解 - 一个用于实部，一个用于虚部。在上图中，

g0/h0

代表信号实部的低通和高通分量

x

和

g1/h1

代表信号

虚部的低通和高通分量x

。

将实部和虚部分解为各自的 DWT 分解后，您可以将它们组合起来以获得幅度和/或相位，然后继续下一步或您想要对它们执行的任何操作。

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关于其正确性的数学证明超出了我们讨论的范围，但如果您想了解这是如何得出的，我建议您参考 Kingsbury 于 1999 年在工作中发表的规范论文 Image使用复杂小波进行处理。密切关注使用 CWT 对图像进行噪声过滤 - 这可能就是您正在寻找的内容。